Понятие обратной функции

Пусть дана функция у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости у = f(x) можно переменную х однозначно выразить через переменную у. Выразив х через у, мы получим равенство вида х = g(y). В этой записи g обозначает функцию, обратную к f.

Обратной к данной функции называется такая функция, которая каждому из множества значений функции ставит в соответствие единое число x из области определения.

Если функция g является обратной для функции f, то и функция является обратной для функции g.

Пару функций f и g называют взаимно обратными функциями.

Свойства взаимно обратных функций

Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций.

1) Тождества. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Тогда: f(g(y)) = у и g(f(x)) = х.

2) Область определения. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Область определения функции f совпадает с областью значений функции g, и наоборот, область значений функции f совпадает с областью определения функции g.

3) Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций.

4) Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой у = х.

12. Каким условием должна обладать функция, чтобы для нее существовала обратная функция?

Теорема существования обратной функции. Если функция y = f (x), строго монотонна (или всегда возрастает или всегда убывает) на своей области определения, то существует обратная функция g, так же строго монотонная на своей области определения.

13. Каким свойством обладают графики обратных функций?

Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой у = х.

14. Что вы знаете о монотонности обратной функции?

Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций.

15. Что вы знаете о нечетности обратных функций?

Не существует аналогичной связи (изложенной в 14 вопросе) с четностью и нечетностью. Функция y=cos(x) четная, а функция y=arccos(x) функция общего вида.