Б) Отбрасывание контрапримера. Метод устранения монстров

Дельта. Но зачем же принимать контрапример? Вы до­казали вашу догадку — теперь она стала теоремой. Я при­нимаю, что она не согласна с этим так называемым контрапримером. Кто-то из них должен уйти. Но почему же должна уходить теорема, если она была доказана? Нуж­но отступить «критике». Это поддельная критика. Пара всаженных кубов совсем не будет многогранником. Это монстр, патологический случай, а не контрапример.

Гамма. А почему нет? Многогранником на­зывается тело, поверхность которого со­стоит из многоугольников — граней. А мой контрапример является телом, ограниченным многоуголь­никами — гранями.

Учитель. Назовем это Определение 1 [21].

Дельта. Ваше определение неправильно. Много­гранник должен быть поверхностью: он имеет гра­ни, ребра, вершины, он может быть деформирован, растя­нут на доске и ему нет никакого дела до понятия о «твер­дом теле». Многогранник есть поверхность, состоящая из системы многоугольников.

Учитель. Назовем это Определение 2 [22].

Дельта. Таким образом, в действительности вы по­казали нам два многогранника, две поверхности, одна полностью внутри другой. Женщина с ребенком во чре­ве не может быть контрапримером для тезиса, что люди имеют одну голову.

Альфа. Так! Мой контрапример породил новое по­нятие о многограннике. Вы осмеливаетесь утверждать, что под многогранником всегда подразумеваете по­верхность?

Рис. 6

Учитель. В данный момент позволим себе при­нять определение 2 Дельты. Можете вы опровергнуть на­ше предположение, если под многогранником мы теперь будем понимать поверхность?

Альфа. Конечно. Возьмите два тетраэдра, имеющие общее ребро (рис. 6, а). Или возьмите два тетраэдра, имеющие общую вершину (рис. 6, б). Оба эти близнеца связаны, оба составляют одну единственную поверхность. И вы можете проверить, что в обоих случаях V — Е + F = 3.

Учитель. Контрапримеры 2, а и 2, б [23].

Дельта. Я восхищаюсь вашим извращенным вооб­ражением, но, конечно, я не считал, что любая систе­ма многоугольников будет многогранником. Под много­гранником я подразумеваю систему многоуголь­ников, расположенных таким образом, чтобы (1) на каждом ребре встречались только два многоугольника и (2) чтобы было возможно изнутри одного многоугольника пройти во внутрь другого любой дорогой, которая никогда не пересекает ребра в вершине. Ваши первые близнецы исклю­чаются первым критерием моего определения, ваши вто­рые близнецы — вторым критерием.

Учитель. Определение 3 [24].

Альфа. Я восхищаюсь вашим извращенным остро­умием, изобретающим одно определение за другим, как баррикады против уничтожения ваших любимых идей. Почему бы вам не определить многогранник как систему многоугольников, для которых имеет место уравнение V — Е + F = 2, и это Идеальное Определение...

Учитель. Определение И [25].

Альфа.... навсегда покончит с диспутом? Тогда уже не будет нужды в дальнейшем исследовании этого предмета.

Дельта. Но не существует на свете теоремы, которую нельзя было бы опровергнуть при помощи монстров.

Учитель. Извините, что прерву вас. Мы видели, что опровержение при помощи контрапримеров зависит от понимания рассматриваемых терминов. Если контрапример должен служить объективной критике, то нужно уговориться в понимании нашего термина. Мы можем достичь этого соглашения, определив термин, на котором оборвалось сообщение. Я, например, не определял поня­тия «многогранник». Я считал, что этот термин является общеизвестным, т. е. все заинтересованные облада­ют способностью отличить вещь, которая является многогранником, от вещи, которая им не является, - то, что некоторые логики называют знанием объема понятия «многогранник». Оказалось, что объем этого понятия со­всем не является очевидным: очень часто опреде­ления даются и обсуждаются именно тогда, когда появляются контрапримеры.

Рис. 7

Я предлагаю теперь рассмотреть все соперничающие оп­ределения вместе и отложить пока обсуждение различий, получающихся в результате выборов разных определений. Может ли кто предложить что-нибудь такое, что можно считать действительно противоречащим примером даже по самому ограничивающему определению?

Каппа. Включая Определение И?

Учитель. Исключая Определение И.

Гамма. Я могу. Взгляните на этот контрапример 3: звездчатый многогранник — я назову его «морским ежом» (рис. 7). Он состоит из 12 звездных пя­тиугольников (рис. 8). Он имеет 12 вершин, 30 ребер и 12 пятиугольных граней — если хотите, вы можете про­верить это подсчетом. Таким образом, положение Декар­та-Эйлера совершенно неправильно, так как для этого многогранника V — Е + F = —6 [26].

Дельта. А почему вы думаете, что ваш «морской еж» будет многогранником?

Гамма. Разве вы не видите? Это многогранник, гра­нями которого являются двенадцать звездчатых пяти­угольников. Он удовлетворяет вашему последнему опре­делению: это — «система многоугольников, расположенных таким образом, что (1) на каждом ребре встречаются толь­ко два многоугольника и (2) из каждого многоугольника можно попасть в любой другой многоугольник без пере­хода через вершину многогранника».

Дельта. Но тогда вы даже не знаете, что такое мно­гоугольник! Звездчатый пятиугольник наверняка не будет многоугольником. Многоугольником называ­ется система ребер, расположенных таким образом, что (1) в каждой вершине встречаются только два ребра и (2) ребра не име­ют общих точек, кроме вершин.

Учитель. Назовем это Определение 4.

Гамма. Я не понимаю, почему вы включаете второе условие: 'Правильное определение многоугольника должно содержать только первое условие.

Учитель. Определение 4'.

Гамма. Второе условие не имеет ничего общего с сущностью многоугольника. Смотрите: если я немножко подыму одно ребро, то звездчатый многоугольник все же будет многоугольником, даже в вашем смысле. Вы вообра­жаете многоугольник, начерченный мелом на доске; но его должно представлять себе как структуру из дерева: тогда то, что вы считаете общей точкой, в действительности бу­дет, очевидно, не точкой, но двумя различными точками, лежащими одна над другой. Вас ввело в заблуждение, что вы помещаете многоугольники в плоскость,— вы должны позволить его членам простираться в пространстве [27].

Дельта. Не скажете ли вы мне, что такое пло­щадь звездчатого многоугольника? Или вы думаете, что некоторые многоугольники не имеют площади?

Гамма. Да ведь вы же сами сказали, что понятие о многограннике может быть совсем не связано с идеей те­лесности. Почему же теперь вы полагаете, что понятие о многоугольнике должно быть связано с понятием о пло­щади? Мы согласились, что многогранник представляет собой замкнутую поверхность с ребрами и вершинами — тогда почему бы нам не согласиться, что многоугольник будет просто замкнутой кривой с вершинами? Но если вы придерживаетесь нашей идеи, то я охотно определю пло­щадь звездчатого многоугольника[28].

Учитель. Оставим на некоторое время этот диспут и пойдем, как и раньше. Рассмотрим вместе два послед­них определения — Определение 4 и Определение 4'. Может ли кто-нибудь дать контрапример для нашего предположения, которое допускало бы оба определения многоугольников?

Альфа. Вот вам один. Рассмотрим раму карти­ны вроде такой (рис. 9). По всем предложенным до сих пор определениям это будет многогранник. Однако после подсчета вершин, ребер и граней вы найдете, что V — Е + F = 0.

Учитель. Контрапример 4 [29].

Бета. Ну, это конец нашей догадке. Очень жаль, потому что она во многих случаях была подходящей. Но, по-видимому, мы напрасно потеряли время.

Альфа. Дельта, я поражен. Вы ничего не говорите? Вы не можете этот новый контрапример выопределить из существования? Я думал, что на свете не существует гипотез, которых вы не смогли бы спасти от уничтожения при помощи подходящей лингвистической хитрости. Сдае­тесь вы теперь? Наконец, соглашаетесь, что существуют неэйлеровы многогранники? Не поверю!

Дельта. Нашли бы вы лучше более подходящее имя для ваших неэйлеровых чудовищ и не путали нас, назы­вая их многогранниками. Но я постепенно теряю интерес к вашим монстрам. Меня берет отвращение от ваших не­счастных «многогранников», для которых неверна пре­красная теорема Эйлера[30]. Я ищу порядка и гармонии в математике, а вы только распространяете анархию и хаос[31]. Наши положения непримиримы.

Альфа. Вы настоящий старомодный консерватор! Вы браните скверных анархистов, портящих ваш «поря­док» и «гармонию» и вы «решаете» затруднения словес­ными рекомендациями.

Учитель. Послушаем последнее спасительное опре­деление.

Альфа. Вы подразумеваете последний лингвисти­ческий трюк, последнее сжатие понятия «многогранник»? Дельта разрушает реальные задачи, вместо того чтобы разрешать их.

Дельта. Я не «сжимаю» понятий. Это вы расши­ряете их. Например, эта картинная рама совсем не настоящий многогранник.

Альфа. Почему?

Дельта. Возьмите какую-нибудь точку в «тунне­ле» — пространстве, ограниченном рамой. Проведите пло­скость через эту точку. Вы найдете, что всякая такая пло­скость будет всегда с картинной рамой иметь два по­перечных сечения, составляющих два отдельных, совер­шенно не связанных многоугольника! (рис. 10).

Рис. 11

Альфа. Ну и что?

Дельта. В случае настоящего много­гранника через любую точку пространства можно провести по крайней мере одну плос­кость, сечение которой с многогранником будет состоять из одного лишь многоуголь­ника. В случае выпуклого многогранника этому требо­ванию будут удовлетворять все плоскости, где бы мы ни взяли точку. В случае обыкновенного невыпук­лого многогранника некоторые плоскости будут иметь большее число пересечений, но всегда будут такие, кото­рые имеют только одно пересечение (рис 11,а и 11,6). В случае этой картинной рамы все плоскости будут иметь два поперечных сечения, если мы возьмем точку внутри рамы. Как же тогда вы можете назвать это многогран­ником?

Учитель. Это похоже на еще одно определение, вы­раженное на этот раз в неявной форме. Назовем его Определение 5 [32].

Альфа. Целая серия контрапримеров, подходящая серия определений, которые не содержат ничего нового, но представляют лишь новые откровения богатства одного старого понятия, которое кажется имеющим столько же «скрытых» требований, сколько и контрапримеров. Для всех многогранников V-E+F=2 кажется неоп­ровержимой, старой и «вечной» истиной. Странно думать, что когда-то это было удивительной догадкой, исполнен­ной вызова и волнения. Теперь же, вследствие ваших странных изменений смысла, оно превратилось в скудную условность, в вызывающую пренебрежение частицу догмы. (Он покидает классную комнату.)

Дельта. Я не могу понять, каким образом такой способный человек, как Альфа, может тратить свой талант на пустые словопрения. Он, кажется, весь поглощен про­изводством монстров, но монстры никогда не способство­вали росту ни в мире природы, ни в мире мысли. Эволю­ция всегда следует гармоническому и упорядоченному образцу.

Гамма. Генетики могут легко опровергнуть это. Разве вы не слышали, что мутации, производящие урод­ства, играют значительную роль в макроэволюции? Такие уродливые мутанты они называют «подающими надежды монстрами». Мне кажется, что контрапримеры Альфы, хотя и уродства, являются «уродами, подающими надежду»[33]

Дельта. Во всяком случае Альфа отказался от борь­бы. Теперь никаких новых монстров больше уже не будет.

Гамма. У меня есть новый. Удовлетворяет всем ограничениям Определений 1, 2, 3, 4 и 5, но для него V—E+F=1. Этот контрапример 5 — про­стой цилиндр. У него 3 грани (оба основания и боковая поверхность), 2 ребра (оба круга) и нет вершин. Он мно­гогранник по вашему определению: (1) у каждого ребра ровно по два многоугольника и (2) изнутри одного мно­гоугольника можно пройти внутрь любого другого путем, не пересекающим ни одного ребра в вершине. И вам при­дется грани считать настоящими многоугольниками, так как они удовлетворяют вашим требованиям: (1) у каждой вершины встречаются только два ребра и (2) ребра не имеют общих точек, кроме вершин.

Дельта. Альфа растягивал понятия, а вы их реже­те. Ваши «ребра» — не ребра! Ребро имеет две вер­шины!