Критика доказательства при помощи контрапримеров, являющихся локальными, но не глобальными

Учитель. Подсказанное доказательством разложение догадки открывает новые горизонты для проб. Это разло­жение более широким фронтом развертывает догадку, так что наш дух критики получает большее количество целей. Мы теперь вместо одной имеем по меньшей мере три воз­можности для контрапримеров.

Гамма. Я уже выразил мое несогласие с вашей третьей леммой (а именно, что при вынимании треуголь­ников из сети, получившейся после растягивания и по­следующей триангуляции, мы имеем только две возможно­сти: мы убираем или только одно ребро, или же два ребра с вершиной). Я подозреваю, что при удалении треуголь­ника могут появиться и другие возможности.

Учитель. Подозрение — это еще не критика.

Гамма. А контрапример будет критикой?

Учитель. Конечно. Догадкам нет дела до несогла­сий или подозрений, но они не могут игнорировать контрапримеры.

Тета (в сторону). Догадки, очевидно, сильно отли­чаются от тех, кто их представляет.

Гамма. Я предлагаю очень простой контрапример. Возьмем триангуляционную сеть, которая получилась после проведения на кубе двух первых операций (см. рис. 2). Теперь, если я удалю треугольник изнутри этой сети, как можно вынуть кусок из головоломки, то я вынимаю только один треугольник без удаления каких-нибудь ребер или вершин. Таким образом, третья лемма неверна — и не только в случае куба, но для всех мно­гогранников, кроме тетраэдра, для которого в плоской сети все треугольники будут граничными. Таким образом, ваше доказательство доказывает теорему Эйлера для тет­раэдра. Но ведь мы уже и так знали, что для тетраэд­ра V — Е + F = 2, так зачем же это доказывать?

Учитель. Вы правы. Но заметьте, что куб, который представляет контрапример для третьей леммы, не будет контрапримером для основной догадки, так как для куба V — Е + F = 2. Вы показали, что аргументация доказательства имеет недостаток, но это не значит, что наша догадка ложна.

Альфа. Так, вы теперь снимете cвое доказательство?

Учитель. Нет. Критика не всегда будет необходимо разрушением. Я просто исправлю мое доказательство, чтобы оно устояло против этой критики.

Гамма. Как?

Учитель. Прежде чем показать «как», давайте введем такую терминологию. Локальным контрапримером я буду называть пример, ко­торый отвергает лемму (не отвер­гая необходимо основную догад­ку), а глобальным контрапримером я назову пример, от­вергающий саму догадку. Таким образом, ваш контрапример будет локальным, но не глобальным. Ло­кальный, но не глобальный контра­пример представляет критику толь­ко доказательства, но не догадки.

Гамма. Значит, догадка мо­жет быть верной, но ваше доказа­тельство ее не доказывает.

Учитель. Но я легко могу переработать, улучшить доказательство, заменив неверную лемму слегка исправленной, которую ваш контрапример не смо­жет опровергнуть. Я не буду спорить, что при вынима­нии любого треугольника получаются толь­ко две упомянутые возможности, но скажу только, что на каждой стадии процесса вы­нимания одного из граничных треуголь­ников может встретиться одна из упомяну­тых возможностей. Возвращаясь к моему мыслен­ному эксперименту, я должен только в описании моего третьего шага прибавить одно слово, а именно, что «теперь из триангулированной сети мы отнимаем один за другим граничные треугольники». Вы согласитесь, что для приведения в порядок доказательства понадобилось толь­ко небольшое замечание?[18]

Гамма. Не думаю, чтобы ваше замечание было таким пустяковым; оно, конечно, очень остроумно. Чтобы выяс­нить это, я покажу, что оно неверно. Возьмем опять плос­кую сеть для куба и отнимем восемь из десяти треуголь­ников в последовательности, указанной на рис. 4. При вынимании восьмого треугольника, который, конечно, бу­дет тогда граничным, мы отняли два ребра и ни одной вер­шины, а это изменит V — Е + F на 1. И мы остались с двумя отдельными треугольниками 9 и 10.

Учитель. Ну, я мог бы спасти лицо, сказав, что под граничным треугольником я подразумевал такой, вынимание которого не нарушает связности сети. Но ин­теллектуальная честность препятствует мне скрыто изме­нять мои положения словами, начинающимися с «я думал»; поэтому я считаю, что вторую версию операции вынимания треугольников я должен заменить третьей, а именно, что вынимаются треугольники один за другим таким образом, чтобы V — Е + F не изменялось.

Каппа. Охотно соглашусь, что соответствующая такой операции лемма будет истинной: конечно, если мы вынимаем треугольники один за другим, так, чтобы V — Е + F не изменялось, то V — Е + F не будет изме­няться.

Учитель. Нет. Лемма заключается в том, что тре­угольники в нашей сети могут быть пере­нумерованы так, что при вынимании их в правильной последовательности V — Е +F не будет изменяться, пока мы не достигнем последнего треугольника.

Каппа. Но как же построить эту правильную после­довательность, если она вообще существует?[19] Ваш перво­начальный мысленный эксперимент давал инструкцию: вынимайте треугольники в любом порядке. А теперь вы говорите, что мы должны следовать некоторому опреде­ленному порядку, но не говорите, какой это порядок и существует ли он в действительности. Таким образом, ваш мысленный эксперимент разваливается. Вы исправили анализ доказательства, т. е. список лемм, но мысленный эксперимент, который вы назвали «доказательством», исчез.

Ро. Исчез только третий шаг.

Каппа. Кроме того, улучшили ли вы лемму? Ва­ши первые две версии по крайней мере до их опровер­жения казались тривиально простыми, а ваша длинно­ватая заплатанная версия даже не кажется очевидной. Можете ли вы верить, что она избежит опровержения?

Учитель. «Очевидные» или даже «тривиально про­стые» предложения обычно скоро отвергаются: софи­стические, неочевидные предположения, созревшие после критицизма, могут оказаться истинными.

Омега. А что случится, если и ваши «софистические предположения» окажутся ложными и мы не сможем за­менить их неложными? Или если вам не удастся улуч­шить локальными заплатами ваши аргументы? При по­мощи замены отвергнутой леммы вам удалось справить­ся с локальным контрапримером, не бывшим глобаль­ным. А что если в следующий раз вам это не удастся?

Учитель. Вопрос хорош — поставим его завтра в повестку дня.