Как доказываются теоремы

(Пер.с англ. И.Н.Веселовского. М., Наука, 1967)

Введение.. 2

1. Задача и догадка.. 6

2. Доказательство.. 7

3. Критика доказательства при помощи контрапримеров, являющихся локальными, но не глобальными.. 9

4. Критика догадки при помощи глобальных контрапримеров.. 12

а) Отбрасывание догадки. Метод сдачи. 12

б) Отбрасывание контрапримера. Метод устранения монстров. 13

в) Улучшение догадки методами устранения исключений. Частичные исключения. Стратегическое отступление или безопасная игра. 20

г) Метод исправления монстров. 25

д) Улучшение догадки методом включения лемм. Рожденная доказательством теорема против наивной догадки. 27

5. Критика анализа доказательства контрапримерами, являющимися глобальными, но не локальными. Проблема строгости. 34

а) Устранение монстров в защиту теоремы.. 34

б) Скрытые леммы.. 35

в) Метод доказательств и опровержений. 38

г) Доказательство против анализа доказательства. Релятивизация понятий теоремы и строгости в анализе доказательства. 40

Замечание. 44

6. Возвращение к критике доказательства при помощи контрапримеров, которые являются локальными, но не глобальными. Проблема содержания.. 46

а) Возрастание содержания при более глубоких доказательствах. 46

б) Стремление к окончательным доказательствам и соответствующим необходимым и достаточным условиям.. 50

в) Различные доказательства дают различные теоремы.. 52

7. Проблема пересмотра содержания.. 54

а) «Наивность» наивной догадки. 54

б) Индукция как основа метода доказательств и опровержений. 55

в) Дедуктивная догадка против наивной догадки. 56

г) Увеличение содержания путем дедуктивного угадывания. 61

д) Логические контрапримеры против эвристических. 66

8. Образование понятий.. 68

а) Опровержение при помощи расширения понятий. Переоценка устранения монстров и пересмотр понятий ошибки и опровержения. 68

б) Рожденное доказательством понятие против наивного. Теоретическая классификация против наивной. 71

в) Пересмотр логических и эвристических опровержений. 74

г) Противоположность между теоретическим и наивным расширением понятий, между непрерывным и критическим ростом.. 75

д) Пределы увеличения содержания. Теоретические и наивные опровержения. 77

9. Как критика может математическую истину превратить в логическую.... 80

а) Бесконечное расширение понятий уничтожает смысл и истину. 80

б) Смягченное расширение понятий может превратить математическую истину в логическую 82

Литература.. 85