![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Нехай задане диференціальне рівняння:
(1)
і крайові умови: (2) або
(2‘)
(2
)
Потрібно знати розв‘язок диференціального рівняння у вигляді таблиці значень на .
Розіб‘ємо на частини точками:
,
,
Другу похідну в рівнянні (1) замінимо різницевим відношенням:
Тоді отримаємо систему:
(3)
В залежності від крайових умов до системи (3) будуть додані рівняння:
(4)
(4‘)
Враховуючи формули чисельного диференціювання функцій інтерполювання многочленами Ньютона.
або
(4‘‘)
Отримаємо систему рівнянь з
невідомими. Дана система буде мати єдиний розв‘язок якщо відповідна однорідна система (випадок коли
) матиме лише тривіальний розв‘язок.
Введемо позначення:
Лема1. Нехай дана довільна система з точок:
Якщо , для довільного
, то найбільшим додатнім числом серед
може бути
або
.
Нехай - найбільше додатне число,
.
Тоді існують числа ,
. Маємо:
, тоді випливає
, тобто
, що неможливо.
Лема2. Якщо задана система точок і виконується умова
,
, то найменшим від‘ємним числом серед
може бути лише
або
.
Доведення аналогічне.
Доведемо, що система (3) з крайовими умовами (4), (4‘), (4‘‘) має лише тривіальний розв‘язок у випадку коли .
1. Нехай маємо (3) і умови (4). Якщо існує ненульовий розв‘язок, то серед чисел є найбільше додатне або найменше від‘ємне, а це суперечить Лемі 1 або 2.
2. Нехай маємо (3) і умови (4‘), маємо:
Якщо існує ненульовий розв‘язок, то серед чисел є найбільше додатне або найменше від‘ємне. Знову суперечність з Лемою 1 або 2.
3. Система (3) і умови (4‘‘): і хоча б одне з них не дорівнює 0. Тоді в (3) підставимо
:
Визначивши з ()
і підставимо в (
).
(5)
Аналогічне підставивши в систему (3) маємо:
З останньої системи можна визначити:
(6)
Розглянемо рівності (5) і (6). Нехай знову існує деякий нетривіальний розв‘язок системи, тоді найбільше додатне або найменше від‘ємне число можуть бути
або
.
Нехай - найбільше додатне число, тоді крок
виберемо настільки малим щоб:
, тоді з (5):
, що неможливо з Лемою.
Щоб отримати таблицю розв‘язків диференціального рівняння при всіх розглянутих крайових умовах слід розв’язати одним з відомих способів систему (3) і (4) або (4‘) або (4‘‘).
Якщо позначити наближений а
- точний розв‘язки, тоді величина:
вказує похибку в вузлі
. Можна довести, що похибка оцінюється таким співвідношенням:
(7)
Заваження1: Розглянутий метод можна застосувати також для рівнянь виду:
(8)
з умовами:
(9)
Якщо другу похідну замінити так само як в попередніх випадках, а першу похідну так:
, отримаємо:
(10)
Зауваження2: Похідні замінюють таким співвідношенням:
(11)
В усіх розглянутих випадках похибка оцінюється нерівністю (7).
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 332 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!