N. 1 наближення алгебраїчними многочленами

Візьмемо метричний простір функцій сумовних з квадратом, тобто функцій для яких виконується умова .

Для довільних функцій скалярний добуток задамо так: . Легко перевірити, що всі аксіоми скалярного добутку тут виконуються, якщо дві функції, які відрізняються на множині міри нуль вважати рівними.

Означення: Найкраще наближення в просторі називається найкращим середньоквадратичним наближенням або наближенням за методом найменших квадратів.

В якості лінійно-незалежної системи візьмемо функції: , елемент найкращого наближення будемо шукати в множині многочленів виду: . Виходячи з загальної теорії стверджуємо, що многочлен найкращого наближення існує, для його побудови потрібно знайти розв’язок системи (2) з попереднього параграфа, вважаючи, що , .

Таким чином маємо систему з рівнянь:

;

; (1)

.....................................................................

.