X. Собственные векторы и собственные значения

Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если действие этого оператора на сводится к растяжению вектора в раз, т.е.

.

Число при этом называют собственным значением оператора .

Из данного определения следует схема получения и . Перепишем или и так как , то

.

В развернутом виде получим однородную систему:

(20)

которая называется характеристической, и будет иметь ненулевое решение, если ее определитель обращается в нуль:

(21)

Уравнение (21) называется характеристическим (или вековым) и служит для получения собственных значений . После раскрытия определителя приходим к алгебраическому уравнению 3-й степени вида:

(22)

где – след матрицы ; – алгебраические дополнения, – определитель матрицы .

Пусть уравнение (22) имеет три действительных корня . Тогда из системы (20) находим координаты собственных векторов . Составим матрицу , по столбцам которой стоят координаты этих векторов. Это матрица перехода от стандартного базиса к базису из собственных векторов и тогда линейный оператор в этом базисе будет иметь матрицу вида:

,

причем диагональную, по главной диагонали которой стоят собственные значения , т.е.

.

Это справедливо только для случая различных действительных корней.

Предлагаем студентам проверить это самостоятельно.

Замечание. Если матрица линейного оператора симметрическая , то ее собственные значения действительные и различные, а собственные векторы ортогональны.

Предлагаем студентам проверить это самостоятельно.