Пример 15

Для ,

т.е. .

Матрица квадратичной формы в базисе из собственных векторов будет диагональной, т.е. .

Действительно, составим характеристическую систему

Ее определитель равен нулю: или

, где , .

Получим характеристическое уравнение , корни которого

, .

Решим систему при :

или .

Полагаем и получаем 1-й собственный вектор .

Аналогично, для :

или .

Полагаем и получаем 2-й собственный вектор .

Заметим, что , т. к. .

Строим матрицу перехода , ее определитель .

Обратная матрица существует: , и в базисе из собственных векторов получаем вид матрицы квадратной формы:

.

Тогда квадратичная форма в базисе из собственных векторов примет канонический вид:

или .

При этом «новые» и «старые» координаты связаны между собой формулой

или

Замечание. Аналогично для квадратичной формы от 3-х переменных

, где или

(24)

.

Матрица (квадратичной формы)

– симметрическая.

Например, ,

т. к. .

В базисе из собственных векторов квадратичная форма примет вид:

, где – собственные значения симметрической матрицы . При собственные векторы ортогональны.

Замечание об евклидовых пространствах

В линейном –мерном пространстве вводим скалярное произведение по правилу:

.

Такая операция над векторами обладает следующими свойствами:

– коммутативность;

– дистрибутивность;

– ассоциативность по умножению на скаляр;

при и при .

–мерное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам, называется евклидовым пространством.

Длиной (нормой) вектора в этом пространстве называется

,

(25)

для которой выполняются свойства:

, если ;

при любом ;

– неравенство Коши–Буняковского;

– неравенство треугольника.

Угол между векторами и в евклидовом пространстве определяется из формулы:

, где .

(26)

Определение корректно, т.к. согласно неравенству Коши–Буняковского

, т. е. .

Два вектора называется ортогональными, если , откуда .

Векторы –мерного пространства образуют ортонормированный базис, если при любых и при .

Теорема 4. Во всяком –мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Например, в : , , .