F. Решение квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) матричным методом и по правилу Крамера

Пусть задана система вида:

(11)

Запишем квадратную матрицу системы размерности :

, матрицу-столбец из неизвестных , и матрицу-столбец из свободных коэффициентов .

В этих обозначениях система (11) примет вид:

.

(12)

Если , то решение матричного уравнения (12) следующее:

.

(13)

Заметим, что , т.е. – матрица такой же размерности, что и . Формула для обратной матрицы .

Решение:

.

Тем самым мы получили формулы Крамера:

.

(14)

для СЛАУ (11), где главный определитель системы , а – вспомогательные определители (получающиеся из главного заменой -го столбца на столбец из свободных коэффициентов). Например

можно обозначить .