Линейные пространства геометрических векторов на плоскости и реальном пространстве строятся, соответственно, на основе евклидовых пространств арифметических векторов и

Определение. Любая упорядоченная пара точек называется направленным отрезком и обозначается как .

Первый элемент пары – точку называют началом или точкой приложения направленного отрезка. Второй элемент пары – точку называют окончанием направленного отрезка. Изображается направленный отрезок в виде стрелочки с началом в точке и окончанием в точке .

Будем говорить, что любые два направленных отрезка и имеют одинаковую длину и направление, если равны арифметические векторы и .

Определение. Геометрическим вектором называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление.

О всяком направленном отрезке из этого множества говорят, что он представляет геометрический вектор (получен приложением вектора к точке ). Каждому геометрическому вектору однозначно соответствует некоторый арифметический вектор, равный разностям компонент окончания и начала любого направленного отрезка, представляющего данный геометрический вектор.

Для любого арифметического вектора существует единственный направленный отрезок , который называют радиус - вектором точки и обозначают . Все направленные отрезки, имеющие одинаковую длину и направление с радиус – вектором образуют геометрический вектор . Таким образом, каждому арифметическому вектору соответствует единственный геометрический вектор , длина и направление которого задается этим арифметическим вектором.

Обратно, каждому геометрическому вектору соответствует единственный арифметический вектор , который определяет длину и направление любого направленного отрезка, составляющего этот геометрический вектор.

Иногда используют выражение «задан вектор ». Это означает, что задан геометрический вектор, который полностью определяется арифметическим вектором . Радиус – вектор этого геометрического вектора равен , а любой направленный отрезок этого геометрического вектора с началом в произвольной точке равен .

Геометрические векторы и называются равными , если множества представляющих их направленных отрезков совпадают. Два любых геометрических вектора равны тогда и только тогда, когда равны соответствующие им арифметические векторы. Как обычно, равенство понимается в том смысле, что слева и справа от знака равенства стоит один и тот же элемент, только записанный в различных формах.

Суммой двух любых геометрических векторов и называется геометрический вектор , которому соответствует арифметический вектор с компонентами .

Если геометрические векторы и представлены направленными отрезками и , имеющими общее начало , то их сумма представлена направленным отрезком . Этот направленный отрезок приложен к точке и имеет окончание в точке с координатами . На рисунке направленный отрезок изображается как диагональ параллелограмма, построенного на направленных отрезках и . Сложение геометрических векторов по указанной схеме называют правилом параллелограмма.

Если геометрические векторы и представлены направленными отрезками и , то их сумма представлена направленным отрезком . На рисунке направленный отрезок изображается как стрелочка, идущая в треугольнике от точки к точке . Сложение геометрических векторов по указанной схеме называют правилом треугольника.

Произведением числа на геометрический вектор называется геометрический вектор , обозначаемый , которому соответствует арифметический вектор .

Нулевой геометрический вектор обычно обозначается как и соответствует арифметическому вектору или .

Ранее было показано, что для арифметических векторов любой размерности выполняются восемь аксиом линейного пространства. Так как основные операции для геометрических векторов введены посредством операций над двумерными и трехмерными арифметическими векторами, то для них также справедливы восемь аксиом линейного пространства. Таким образом, по построению, между геометрическими и арифметическими векторами одинаковой размерности установлено взаимно однозначное соответствие, согласованное с основными операциями вещественных линейных пространств, что позволяет считать геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве конкретными векторами.

Как следует из общих определений, в арифметическом пространстве скалярное произведение для любых двух векторов и определяется по формуле . Соответственно, в арифметическом пространстве скалярное произведение для любых двух векторов и определяется по формуле .

Определение. Скалярным произведением геометрических векторов , называют скалярное произведение соответствующих арифметических векторов , , т.е. .

Отсюда следует, что в пространстве геометрических векторов на плоскости скалярное произведение вычисляется по формуле , если заданы точки и . Аналогично, в реальном пространстве скалярное произведение вычисляется по формуле , если заданы точки и .

Длину (модуль) арифметического вектора определяют и вычисляют, соответственно, по формулам для и для .

Определение. Длиной (модулем) геометрического вектора называют длину, соответствующего ему арифметического вектора .

Так, если геометрический вектор в реальном пространстве задан арифметическим вектором с компонентами , то длина вектора находится по формуле

.

В частности, нулевой геометрический вектор имеет нулевую длину.

Если, например, геометрический вектор представлен направляющим отрезком в реальном пространстве, то ему соответствует арифметический вектор , и его длину в этом случае находят по формуле , где есть компоненты арифметического вектора и есть компоненты вектора .

Длину направленного отрезка обозначают и определяют по формуле . Отметим, что длина направленного отрезка равна расстоянию между точками и .

Модуль произведения числа на геометрический вектор находится по формуле , что следует непосредственно из приведенных формул. Если число строго положительно, то вектор имеет то же направление, что и вектор . Если число строго отрицательно, то вектор имеет то же направление, что и вектор , то есть, направлен в противоположную сторону.

Определение. Угол между двумя любыми ненулевыми геометрическими векторами и определяется по формуле .

В частности, в реальном пространстве .

В задачах, где известен угол между векторами и и длины этих векторов, скалярное произведение вычисляют по формуле .