![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Во всяком
-мерном евклидовом пространстве
существует ортонормированный базис
.
Доказательство. Согласно аксиоме размерности в пространстве имеется линейно независимая система из
векторов
. Покажем, что можно построить систему из
векторов
линейно выражающихся через векторы системы
, и образующих ортонормированный базис.
Доказательство проведем по методу математической индукции.
1. При утверждение теоремы очевидно. Если
есть ненулевой вектор, то один нормированный вектор
образует ортонормированный базис.
2. Предположим, что в каждом - мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, и докажем то же утверждение для произвольного
.
Пусть есть произвольный базис в пространстве
. Линейная оболочка векторов системы
представляет собой евклидово пространство размерности
и, по предположению индукции, там существует ортонормированная система из
векторов
. Построим новый
-тый вектор
.
Коэффициенты выберем такими, чтобы новый вектор был ортогонален всем векторам системы
. Так как система
является ортонормированной, получим
, откуда
для всех
.
Нормируем вектор , т.е. построим единичный вектор
По построению вектор
ортогонален векторам системы
и имеет единичную длину. Таким образом, найдена ортонормированная система векторов
, которая линейно независима и является базисом евклидова пространства
. На этом завершается доказательство теоремы Грамма-Шмидта по методу математической индукции.
Конструктивный метод, с помощью которого был построен ортонормированный базис при доказательстве теоремы, называют методом ортогонализации Грама-Шмидта.
При практической реализации метода Грама-Шмидта, отправляясь от системы векторов ,последовательно находят ортонормированные векторы
в соответствии со следующим алгоритмом:
Отметим, что в каждом евклидовом пространстве существует бесконечно много ортонормированных базисов. Так, начиная процесс ортогонализации с любого ненулевого вектора, можно построить некоторый ортонормированный базис.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 5613 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!