Теорема (основные свойства ортонормированного базиса)

1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса.

2. Скалярное произведение двух любых векторов вычисляется в ортонормированном базисе как сумма произведений соответствующих координат в данном базисе.

Доказательство. Пусть есть некоторое разложение произвольного вектора в ортонормированном базисе . Последовательно и скалярно умножая обе части этого равенства на векторы базиса, получим

для всех ,

что и требовалось доказать в первой части теоремы.

Пусть далее , есть некоторое разложение произвольных векторов в ортонормированном базисе . Составим скалярное произведение векторов , и в силу аксиоматических свойств любых скалярных произведений и свойств ортонормированного базиса получим:

,

что и требовалось доказать.

Определение. Два любых вектора , линейного пространства имеют одинаковое (одно и то же) направление, если для них выполняется условие .

Определение. Арифметические векторы в задачах с геометрической терминологией называют точками с компонентами .

В частности, арифметические векторы из или из также называются точками и изображаются в декартовой прямоугольной системе координат в виде точек или . При этом все координаты измеряются в одинаковом масштабе, причем первую координату называют абсциссой, вторую – ординатой, а третью – аппликатой. Точку или будем называть началом координат на плоскости или в пространстве.