 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Скалярное произведение в координатах
|
|
В евклидовом векторном пространстве V размерности n задан базис e 1, e 2, …, en. Векторы x и y разложены по векторам базиса: x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + … + xnen, y = y 1 e 1 + y 2 e 2 + … + ynen. Найдем скалярное произведение этих векторов
(x, y) = (x 1 e 1 + x 2 e 2 + … + xnen)(y 1 e 1 + y 2 e 2 + … + ynen) =
= x 1 y 1(e 1, e 1) + x 1 y 2(e 1, e 2) + … + x 1 yn (e 1, en) + … + xn yn (en, en) =
= 
.
Очевидно, что для задания скалярного произведения, необходимо задать матрицу A = 
, где aij = (ei, ej). Если (x 1, x 2, …, xn) – строка координат вектора x, а 
– столбец координат вектора y, то (x, y) = (x 1, x 2, …, xn)× × .
Матрица A не может быть произвольной, иначе не станут выполняться аксиомы евклидова векторного пространства. Эта матрица должна быть симметрической и должна задавать положительно определенную квадратичную форму. Простейшим примером такой матрицы является матрица E. При этом (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + xnyn, то есть скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 1018 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
