Координаты вектора в различных базисах

Пусть V – n -мерное векторное пространство, в котором заданы два базиса: e ₁, e ₂, …, e_n – старый базис, e '₁, e '₂, …, e ' _n – новый базис. У произвольного вектора a есть координаты в каждом из них:

a = a₁ e ₁ + a₂ e ₂+ … + a _ne_n;

a = a'₁ e '₁ + a'₂ e '₂+ … + a' _ne ' _n.

Для того чтобы установить связь между столбцами координат вектора a в старом и новом базисах, надо разложить векторы нового базиса по векторам старого базиса:

e '₁ = a₁₁ e ₁ + a₂₁ e ₂+ … + a _{n 1} e_n,

e '₂ = a₁₂ e ₁ + a₂₂ e ₂+ … + a _{n 2} e_n,

………………………………..

e ' _n = a_{1 n} e ₁ + a_{2 n} e ₂+ … + a _nne_n.

Определение 8.14. Матрицей перехода от старого базиса к новому базису называется матрица, составленная из координат векторов нового базиса относительно старого базиса, записанных в столбцы, т. е.

T = .

Столбцы матрицы T – это координаты базисных, а значит, линейно независимых, векторов, следовательно, эти столбцы линейно независимы. Матрица с линейно независимыми столбцами является невырожденной, ее определитель не равен нулю и для матрицы T существует обратная матрица T ^–1.

Обозначим столбцы координат вектора a в старом и новом базисах, соответственно, как [ a ] и [ a ]'. С помощью матрицы перехода устанавливается связь между [ a ] и [ a ]'.

Теорема 8.10. Столбец координат вектора a в старом базисе равен произведению матрицы перехода на столбец координат вектора a в новом базисе, то есть [ a ] = T [ a ]'.

Следствие. Столбец координат вектора a в новом базисе равен произведению матрицы, обратной матрице перехода, на столбец координат вектора a в старом базисе, то есть [ a ]' = T ^–1[ a ].

Пример 8.8. Составить матрицу перехода от базиса e ₁, e ₂, к базису e '₁, e '₂, где e '₁ = 3 e ₁ + e ₂, e '₂ = 5 e ₁ + 2 e ₂, и найти координаты вектора a = 2 e '₁ – 4 e '₂ в старом базисе.

Решение. Координатами новых базисных векторов относительно старого базиса являются строки (3, 1) и (5, 2), тогда матрица T примет вид . Так как [ a ]' = , то [ a ] = × = .

Пример 8.9. Даны два базиса e ₁, e ₂ – старый базис, e '₁, e '₂ – новый базис, причем e '₁ = 3 e ₁ + e ₂, e '₂ = 5 e ₁ + 2 e ₂. Найти координаты вектора a = 2 e ₁ – e ₂ в новом базисе.

Решение. 1 способ. По условию даны координаты вектора а в старом базисе: [ a ] = . Найдем матрицу перехода от старого базиса e ₁, e ₂ к новому базису e '₁, e '₂. Получим матрицу Т = для нее найдем обратную матрицу T ^–1 = . Тогда согласно следствию из теоремы 8.10 имеем [ a ]' = T ^–1[ a ] = × = .

2 способ. Так как e '₁, e '₂ базис, то вектор а раскладывается по базисным векторам следующим образом a = k ₁ e '₁ – k ₂ e '₂. Найдем числа k ₁и k ₂ – это и будут координаты вектора а в новом базисе.

a = k ₁ e '₁ – k ₂ e '₂ = k ₁(3 e ₁ + e ₂) – k ₂(5 e ₁ + 2 e ₂) =

= e ₁(3 k ₁ + 5 k ₂) + e ₂(k ₁ + 2 k ₂) = 2 e ₁ – e ₂.

Так как координаты одного и того же вектора в данном базисе определяется однозначно, то имеем систему: Решая данную систему, получим k ₁ = 9 и k ₂ = –5, т. о. [ a ]' = .