Определение векторного пространства над произвольным полем

Пусть P – произвольное поле. Известные нам примеры полей – поле рациональных, действительных, комплексных чисел.

Определение 8.1. Множество V называется векторным (или линейным) пространством над полем P, если для каждых двух элементов a, b Î V определена сумма a + b Î V,и для каждого k Î P и для каждого a Î V определено произведение k × a Î V, причем справедливы следующие равенства: для любых a, b, c Î V и любых k, l Î P

1) a + b = b + a;

2) a + (b + c) = (a + b) + c;

3) $ о Î V: a + о = a;

4) " а, $ (– а): a + (– a) = о;

5) 1× a = a, 1 Î P;

6) k ×(l × a) = l ×(k × a) = (l × k)× a;

7) (k + l)× a = k × a + l × a;

8) k ×(a + b) = k × a + k × b.

Элементы векторного пространства принято называть векторами, о - нулевой вектор; (– а) – вектор, противоположный вектору а; 1 Î P – единица поля P.

Примеры 8.1. Приведем примеры векторных пространств.

1) Rⁿ – арифметическое n -мерное векторное пространство.

2) Множество матриц одного итого же размера с действительными коэффициентами R^{m ´ n}, сложение матриц и умножение их на действительное число определены.

3) R [ x ] – множество многочленов с действительными коэффициентами, сложение многочленов и умножение их на действительное число известны.

4) R [ x ]_{(£ n )} – множество многочленов с действительными коэффициентами степени, не превосходящей n.

5) Множество направленных отрезков плоскости или пространства с общим началом в начале координат. Сложение таких отрезков осуществляется по правилу параллелограмма, умножение по известному правилу.

6) R (a, b) – множество функций определенных, дифференцируемых на отрезке [ a, b ].

Если числа в определении 8.1 k, l … брать из поля действительных (вещественных) чисел R, т. е. Р = R, то пространство называется вещественным векторным (линейным) пространством; если же из поля комплексных чисел, то приходим к понятию комплексного линейного пространства.