Базисы и размерности подпространств

1. Пусть подпространство L = L (а ₁, а ₂, …, а_m), то есть L – линейная оболочка системы а ₁, а ₂, …, а_m; векторы а ₁, а ₂, …, а_m – система образующих этого подпространства. Тогда базисом L является базис системы векторов а ₁, а ₂, …, а_m, то есть базис системы образующих. Размерность L равна рангу системы образующих.

2. Пусть подпространство L является суммой подпространств L ₁ и L ₂. Систему образующих суммы подпространств можно получить объединением систем образующих подпространств, после чего находится базис суммы. Размерность суммы находится по следующей формуле:

dim (L ₁ + L ₂) = dimL ₁ + dimL ₂ – dim (L ₁ Ç L ₂).

3. Пусть сумма подпространств L ₁ и L ₂ прямая, то есть L = L ₁ Å L ₂. При этом L ₁ Ç L ₂ = { о } и dim (L ₁ Ç L ₂) = 0. Базис прямой суммы равен объединению базисов слагаемых. Размерность прямой суммы равна сумме размерностей слагаемых.

4. Приведем важный пример подпространства и линейного многообразия.

Рассмотрим однородную систему m линейных уравнений с n неизвестными. Множество решений М ₀ этой системы является подмножеством множества Rⁿ и замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на действительное число. Это означает, что это множество М ₀ – подпространство пространства Rⁿ. Базисом подпространства является фундаментальный набор решений однородной системы, размерность подпространства равна количеству векторов в фундаментальном наборе решений системы.

Множество М решений общей системы m линейных уравнений с n неизвестными так же является подмножеством множества Rⁿ и равно сумме множества М ₀ и вектора а, где а – некоторое частное решение исходной системы, а множество М ₀ – множество решений однородной системы линейных уравнений, сопутствующей данной системе (она отличается от исходной только свободными членами),

М = а + М ₀ = { а = m, m Î М ₀}.

Это означает, что множество М является линейным многообразием пространства Rⁿ с вектором сдвига а и направлением М ₀.

Пример 8.6. Найти базис и размерность подпространства, заданного однородной системой линейных уравнений:

Решение. Найдем общее решение этой системы и ее фундаментальный набор решений: с ₁ = (–21, 12, 1, 0, 0), с ₂ = (12, –8, 0, 1, 0), с ₃ = (11, –8, 0, 0, 1).

Базис подпространства образуют векторы с ₁, с ₂, с ₃, его размерность равна трем.