Евклидовы векторные пространства

Дано векторное пространство V над полем действительных чисел. Это пространство может быть как конечномерным векторным пространством размерности n, так и бесконечномерным.

Определение 8.15. Векторное пространство V называется евклидовым векторным пространством, если задано правило, по которому любой паре векторов ставится в соответствие единственное действительное число, обозначаемое (x, y) и называемое скалярным произведением векторов x и y (другими словами, задано отображение V ´ V ® R). При этом указанное правило подчинено 4 аксиомам:

1) (x, y) = (y, x);

2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);

3) (a x, y) = a(x, y), где a Î R;

4) (x, x) ³ 0, причем (x, x) = 0 Û x = о; при этом (x, x) называют скалярным квадратом элемента х.

Пример 8.10. Приведем примеры евклидовых пространств.

1. V = Rⁿ – арифметическое n -мерное векторное пространство. Если векторам x = (x ₁, x ₂, …, x_n) и y = (y ₁, y ₂, …, y_n) поставлено в соответствие число (x, y) = x ₁ y ₁ + x ₂ y ₂ + … + x_ny_n, то аксиомы выполняются. Проверим последнюю из них. Найдем (x, x): (x, x) = . Сумма квадратов во множестве действительных чисел неотрицательна. Полученное евклидово векторное пространство называется стандартным евклидовым векторным пространством.

2. V – пространство направленных отрезков с общим началом в начале координат. Скалярным произведением двух векторов назовем число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Все требуемые свойства выполняются, что известно еще из школы.

3. V = R (a, b) – множество функций, заданных и непрерывных на промежутке [ a, b ]. Зададим скалярное умножение векторов из R (a, b) следующим способом: . Из свойств определенного интеграла получаются все свойства, требуемые в определении скалярного произведения.