Практическое нахождение ранга и базиса системы векторов

Из данной системы векторов составляем матрицу, расположив векторы как строки этой матрицы. Приводим матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований над строками этой матрицы. При этом не меняется ни ранг матрицы, ни ранг системы векторов-строк. Ранг полученной ступенчатой матрицы, а также полученной ступенчатой системы векторов равен количеству оставшихся ненулевых строк. Базисом системы векторов являются те векторы, на месте которых остались ненулевые строки.

Пример 7.4. Найти ранг и базис системы векторов а ₁ = (1, 3, 0, 5), а ₂ = (1, 2, 0, 4), а ₃ = (1, 1, 1, 3) а ₄ = (1, 0, –1, 0), а ₅ = (1, –3, 3, –1).

Решение. Действуем по описанной схеме.

~ ~ ~
~ ~ ~ .

Ранг системы векторов равен трем (по количеству оставшихся ненулевых строк), один из базисов образуют векторы а ₁, а ₂, а ₃.

Нахождение ранга системы векторов позволяет решать вопрос о линейной зависимости системы векторов. Если ранг системы векторов равен количеству векторов в системе, то эта система линейно независима, если же ранг системы векторов меньше количества векторов в системе, то эта система векторов линейно зависима.

Так как ранг рассмотренной системы (пример 7.4) векторов а ₁, а ₂, а ₃, а ₄, а ₅ равен трем и меньше числа векторов, то есть пяти, то система векторов а ₁, а ₂, а ₃, а ₄, а ₅ линейно зависима.