Свойства линейной зависимости системы векторов

1) Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

2) Система векторов линейно зависима, если какая-нибудь ее подсистема линейно зависима.

Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.

3) Если к линейно независимой системе векторов а ₁, а ₂, …, а_m добавить вектор b и при этом система векторов а ₁, а ₂, …, а_m, b станет линейно зависимой, то вектор b линейно выражается через остальные.

Определение7.12. Система векторов а ₁, а ₂, …, а_m называется ступенчатой (или лестничной), если матрица, составленная из координат этих векторов, является ступенчатой, т. е.

а ₁ = (а ₁₁, а ₁₂, …, а _{1 r}, …, а _{1 n}), а ₁₁ ≠ 0;

а ₂ = (0, а ₂₂, …, а _{2 r}, …, а _{2 n}), а ₂₂ ≠ 0;

……………………………………

а_m = (0, 0, …, а_rr, …, а_rn), а_rr ≠ 0.

4) Ступенчатая система векторов линейно независима.

Пример 7.3. Выяснить является ли система векторов а ₁ = (2, 2, 7, –1), а ₂ = (3, –1, 2, 4), а ₃ = (1, 1, 3, 1) линейно зависимой.

Решение. По определениям 7.10 и 7.11 составим линейную комбинацию данных векторов k ₁× а ₁ + k ₂× а ₂ + k ₃× а ₃ = 0; подставим вместо векторов их координаты:

k ₁×(2, 2, 7, –1) + k ₂×(3, –1, 2, 4) + k ₃×(1, 1, 3, 1) = (0, 0, 0, 0).

Данное векторное равенство (согласно определению 7.2 о равенстве векторов) запишем для каждой координаты, и получим систему:

Решим систему методом Гаусса.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Þ

Следовательно, данная система векторов линейно независима.