Линейная зависимость и независимость системы векторов

Пусть а ₁, а ₂, …, а_m множество из m штук n -мерных векторов, о котором принято говорить – система векторов, и k ₁, k ₂, …, k_m – произвольные действительные числа.

Определение 7.7. Линейной комбинацией системы векторов а ₁, а ₂, …, а_m с коэффициентами k ₁, k ₂, …, k_m называется вектор b = k ₁× а ₁ + k ₂× а ₂ + … + k_m × а_m.

Принято говорить: вектор b линейно выражается через векторы а ₁, а ₂, …, а_m или вектор b разложен (раскладывается) по векторам а ₁, а ₂, …, а_m.

Пример 7.1. Даны векторы а ₁ = (3, 2, –1, 0), а ₂ = (–1, 0, 4, 1),
а ₃ = (–2, –2, –3, –1). Найти вектор b = 2 а ₁ – а ₂ – а ₃.

Решение. b = 2 а ₁ – а ₂ – а ₃ = 2(3, 2, –1, 0) + (–1)(–1, 0, 4, 1) + (–1)(–2, –2, –3, –1) = (6, 4, –2, 0) + (1, 0, –4, –1) + (2, 2, 3, 1) = (9, 6, –3, 0).

Пример 7.2. Даны векторы а ₁ = (6, 4, –2), а ₂ = (–1, 0, 4),
а ₃ = (–2, –2, –3). Найти вектор b = а ₁ + 2 а ₂ + 2 а ₃.

Решение. b = а ₁ + 2 а ₂ + 2 а ₃ = (6, 4, –2) + 2(–1, 0, 4) + 2(–2, –2, –3) =
= (6, 4, –2) + (–2, 0, 8) + (–4, –4, –6) = (0, 0, 0) = о.

Определение 7.8. Линейной оболочкой системы векторов а ₁, а ₂, …, а_m называется множество всех линейных комбинаций этих векторов. Принятое обозначение: L (а ₁, а ₂, …, а_m).

Из определения следует, что

L (а ₁, а ₂, …, а_m) = { k ₁× а ₁ + k ₂× а ₂ + … + k_m × a_m, k_i Î R}.

Если вектор b линейно выражается через векторы а ₁, а ₂, …, а_m, то в этих обозначениях можно записать, что b Î L (а ₁, а ₂, …, а_m).

Определение 7.9. Линейная комбинация системы векторов а ₁, а ₂, …, а_m вида 0× а ₁ + 0× а ₂ + … + 0× а_m называется нулевой. Нулевая линейная комбинация векторов равна нулевому вектору.

Определение 7.10. Система векторов а ₁, а ₂, …, а_m называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда эта комбинация нулевая, то есть

k ₁× а ₁ + k ₂× а ₂ + … + k_m × a_m = о Û k ₁ = 0, k ₂ = 0, …, k_m = 0.

Равносильное определение линейно независимой системы векторов звучит следующим образом: система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один вектор нельзя выразить через остальные векторы.

Определение 7.11. Система векторов а ₁, а ₂, …, а_m называется линейно зависимой, если существуют коэффициенты k ₁, k ₂,…, k_m, не все одновременно равные нулю и такие, что k ₁× а ₁ + k ₂× а ₂ + … + k_m × a_m = о.

Равносильное определение линейно зависимой системы векторов звучит следующим образом: система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда в этой системе существует хотя бы один вектор, который линейно выражается через остальные.

Если система векторов состоит только из одного вектора, то эта система линейно зависима, если этот вектор нулевой, и линейно независима, если он ненулевой.

Система векторов, содержащая два вектора, линейно зависима в случае пропорциональности координат этих векторов, и линейно независима в противном случае.