Метод обратной матрицы

Метод обратной матрицы применим для систем линейных уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель основной матрицы не равен нулю.

Матричная форма записи системы линейных уравнений представляется в виде следующего матричного равенства: А × Х = В.

В силу условия матрица А – квадратная матрица порядка n с определителем не равным нулю. Это означает, что для матрицы А существует обратная матрица А ^–1. Умножим обе части матричного равенства на матрицу А ^–1 слева. Получим А ^–1×(А × Х) = А ^–1× В. Преобразуем данной выражение:

(А ^–1× А)× Х = А ^–1× В;

E × Х = А ^–1× В;

Х = А ^–1× В.

Вывод: если для системы n линейных уравнений с n неизвестными определитель основной матрицы не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле Х = А ^–1× В, где А – основная матрица данной системы, В – столбец свободных членов.

Пример 6.2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

Решение. Здесь А = , Х = , B = . Найдем матрицу
А ^–1 любым способом. Имеем А ^–1 = . Теперь можно вычислить столбец неизвестных X.

X = = × = = . Значит x ₁ = 1, x ₂ = 1.

Ответ: (1; 1).

Очевидно, что применение этих методов связано с выполнением определенных условий и решить с их помощью произвольную систему невозможно.