Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований

Рассмотрим еще способ нахождения обратной матицы с помощью элементарных преобразований. Сформулируем необходимые понятия и теоремы.

Определение 5.11. Матрица В называется эквивалентной матрице А, если В получена из А с помощью конечного числа элементарных преобразований. Обозначение В ~ А.

Теорема 5.7. Всякую невырожденную квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к единичной матрице.

Теорема 5.8. Если к единичной матрице применить те же самые элементарные преобразования, которые матрицу А переводят в единичную, то полученная матрица будет обратной для матрицы А.

Схематично преобразования выглядят так: (А | E) ~ … ~ (Е | А ^–1).

Замечание 5.5. При нахождении матрицы А ^–1 нет необходимости проверять невырожденность матрицы А, т. к. сама возможность привести матрицу А к единичной матрице Е будет означать, что А – невырожденная.

Пример 5.5. Найти матрицу, обратную для матрицы А = с помощью элементарных преобразований.

Решение. Приписываем к матрице А (справа, а можно и слева) единичную матрицу Е. Далее, с помощью элементарных преобразований над всей составной матрицей приводим матрицу А к единичной Е. Тогда на месте первоначально приписанной матрицы Е оказывается матрица А ^–1.

~ ~ ~ ~ ; т. о. А ^–1 = .