Понятие ранга матрицы

Пусть А – матрица размерности m ´ n. Выберем в этой матрице произвольно k строк и k столбцов, где 1 ≤ k ≤ min (m, n).

Определение 5.1. Минором k-го порядка матрицы А называется определитель матрицы, стоящей на пересечении этих k строк и k столбцов.

Другими словами, если в матрице А размерности m ´ n вычеркнуть (m – k) строк и (n – k) столбцов, а из оставшихся элементов составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы есть минор порядка k матрицы А.

Пример 5.1. Проиллюстрируем определение минором k -го порядка матрицы А. Рассмотрим матрицу А = . Запишем минор первого порядка этой матрицы. Например, если выбрать третью строку и второй столбец матрицы А, то данному выбору соответствует минор первого порядка M ₁ = det (7) = 7. Иными словами, для получения этого минора надо вычеркнуть первую, вторую и четвертую строки, а также первый и третий столбцы из матрицы А, а из оставшегося элемента составить определитель. Таким образом, минорами первого порядка матрицы являются сами элементы матрицы.

Приведем пример минора второго порядка матрицы А. Выберем две строки, например, первую и вторую, и два столбца, например, первый и третий. Вычислим определитель, стоящий на их пересечении M ₂ = = –23. Этот минор также можно было составить вычеркиванием из матрицы А третьей и четвертой строки, второго столбца.

Аналогично могут быть найдены миноры третьего порядка матрицы А. Так как в матрице А всего три столбца, то берем их все. Если к этим столбцам добавить три строки, например первую, третью и четвертую, то получим минор третьего порядка M ₃ = = 145. Данный минор также может быть построен вычеркиванием второй строки матрицы А. Можно получить другой минор третьего порядка, если вычеркивать третью строку матрицы А.

Для данной матрицы А миноров порядка выше третьего не существует, так как k ≤ min (m, n) = min (4, 3) = 3.

Замечание 5.1. Число миноров порядка k матрицы A размерности m ´ n может быть вычислено по формуле: , где и – число сочетаний из m по k и из n по k соответственно.

Определение 5.2. Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Обозначение: rang A, r или r (A).

Из определения следует, что

1) для матрицы A размерности m ´ n имеем 0 ≤ rang A ≤ min (m, n);

2) ранг нулевой матрицы равен нулю;

3) ранг ненулевой матрицы не меньше единицы;

4) ранг квадратной матрицы порядка n равен n только тогда, когда ее определитель не равен нулю;

5) ранг матрицы не меняется при транспонировании.