Множества и их элементы. Способы задания множеств

Первичным понятием теории множества является понятие самого множества. Данный термин был введен в математику создателем теории множеств Г. Кантором[1]. Следуя ему, под множеством понимается совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами.

Это описание понятия множества нельзя считать логическим определением, а всего лишь пояснением. Понятие множества принимается как исходное, первичное, то есть не сводимое к другим понятиям.

Примерами множеств могут служить множество всех книг, составляющих данную библиотеку, множество всех точек данной линии, множество всех решений данного уравнения, множество всех одноклеточных организмов и т. п.

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, … Обозначается множество скобками {…}, внутри которых либо просто перечисляются элементы, либо описываются их свойства. Для числовых множеств будем использовать следующие обозначения:

N – множество натуральных чисел;

N₀ – множество неотрицательных целых чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I – множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

C – множество комплексных чисел.

Элементы множества будем обозначать строчными латинскими буквами: a, b, c, …

Предложения вида «объект a есть элемент множества A», «объект a принадлежит множеству A», имеющие один и тот же смысл, кратко записывают в виде a Î A. Если элемент a не принадлежит множеству A, то пишут a Ï A. Символ Î называется знаком принадлежности.

Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечное. Например, множество всех корней уравнения x ² – 3 x + 2 = 0 конечно (два элемента), а множество всех точек прямой бесконечно. Рассматривают в математике и множество, не содержащее ни одного элемента.

Определение 1.1. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Æ.

Число элементов конечного множества называется его мощностью. Если множество A содержит n элементов, то будем писать | A | = n. Если множество A = Æ, то | A | = 0. Мощность бесконечного множества является более сложным понятием и изучается в дискретной математике и в числовых системах.

Замечание 1.1. Элементами множества могут быть множества. Например, можно говорить о множестве групп некоторого факультета университета. Элементы этого множества – группы, являющиеся в свою очередь множествами студентов. Но конкретный студент одной из групп уже не является элементом множества групп факультета.

Определение 1.2. Множество, элементами которого являются другие множества, называется семейством (или классом).

Определение 1.3. Если все элементы данной совокупности множеств принадлежат некоторому одному множеству, то такое множество называется универсальным множеством, и обозначается U.

Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Множество можно задать следующими способами:

1. перечислением всех его элементов;

2. характеристическим свойством элементов множества;

3. порождающей процедурой.

Первый способ задания множеств применим только для конечных множеств, да и то при условии, что число элементов множества невелико. Если a, b, c, d – обозначения различных объектов, то множество A этих объектов записывают так: A = { a, b, c, d }. Запись читают: «A – множество, элементы которого a, b, c, d».

Замечание 1.2. Порядокперечисления элементов множества не имеет значения. Например, множества { m, n, k, r } и { n, m, r, k } совпадают.

Вторым способом можно задавать как конечные, так и бесконечные множества. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, входящий в данное множество, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Если обозначить символом P (а) характеристическое свойство элементов множества A, то тогда используется следующая запись: A = { а | P (а)}.

Порождающая процедура описывает способ получения элементов нового множества из уже полученных элементов или из других объектов. Тогда элементами множества считаются все объекты, которые могут быть получены с помощью этой процедуры. Другими словами, порождающая процедура – это процесс, который будучи запущен, порождает все элементы данного множества. С помощью порождающей процедуры можно задавать множества, содержащие любое число элементов.

Пример 1.1. Определим различными способами множество M всех нечетных натуральных чисел, не превышающих 10:

1. M = {1, 3, 5, 7, 9};

2. M = { m | m Î N, m < 10, m – нечетное число} или

M = {2 n – 1 | n Î N, n £ 5};

3. порождающая процедура определяется правилами:

a) 1 Î M;

b) если m Î M, то (m + 2) Î M, где m £ 7.

1.2. Подмножества. Диаграммы Эйлера – Венна

Определение 1.4. Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B принадлежит множеству A.

Пример 1.2. Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, а B = {2, 3, 5, 7}. Множество В является подмножеством множества А, поскольку каждый элемент множества В принадлежит множеству А.

Если множество B является подмножеством множества A, то говорят также, что B содержится в A или B включено в A, при этом пишут В Í А или А Ê В. Символ Í называется знаком включения (точнее, нестрого включения).

Согласно данному определению 1.4 подмножества, каждое множество является подмножеством самого себя, то есть (" A) А Í А. Кроме того, считается, что пустое множество есть подмножество любого множества A: (" A) Æ Í А.

Различают два вида подмножеств множества А.

Определение 1.5. Пустое множество Æ и множество А называются несобственными подмножествами множества А.

Определение 1.6. Любые подмножества множества А, отличные от А и Æ, называются собственными подмножествами множества А.

Определение 1.7. Множества A и B, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. При этом пишут А = В, в противном случае А ≠ В.

Справедливо следующее утверждение, которое также можно рассматривать в качестве определения равных множеств.

Утверждение 1.1. А = В Û А Í B и В Í А.

Замечание 1.3. Из утверждения 1.1 вытекает способ доказательства равенства двух множеств: если доказать, что каждый элемент из множества A является элементом множества B и каждый элемент из множества B является элементом множества A, то делают вывод, что А = В.

Говорят, что множество B строго включено в множество A или, по-другому, А строго включает B, если В Í А и В ¹ А. В этом случае пишут B Ì A. Символ Ì называется знаком строгого включения.

Пример 1.3. Имеют место следующие строгие включения числовых множеств: N Ì N₀ Ì Z Ì Q Ì R Ì C и IÌ R Ì C.

Определение 1.8. Совокупность всех подмножеств множества A называется его булеаном (или множеством-степенью), и обозначается через P (A) (или 2 ^A).

Пример 1.4. Если A = { a, b, c }, то булеан множества А это множество P (A) = {Æ, { a }, { b }, { c }, { a, b }, { b, c }, { a, c }, { a, b, c }}.

Для наглядного изображения множеств и их свойств используют так называемые диаграммы Эйлера[2] – Венна[3]. Множество отождествляется с множеством точек на плоскости, лежащих внутри некоторых замкнутых кривых, например окружностей (так называемые круги Эйлера). В частности, универсальное множество U изображается множеством точек некоторого прямоугольника или всей плоскости (рис. 1.1).