Разность

Определение 1.11. Разностью множеств А и В называется множество А \ В, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и одновременно не принадлежат множеству В.

Таким образом, по определению 1.11, А \ В = { x | x Î А и х Ï В }. Разность множеств А и В заштриховано и изображено на рис. 1.4.

Замечание 1.5. Если B Í A, то в этом случае разность А \ В называют дополнением B до A.

Определим частные случаи разности.

Определение 1.12. Симметрической разностью (или кольцевой суммой) множеств А и В называется множество A D B (или А Å В), состоящее из элементов объединения этих множеств, но не входящих в пересечение этих множеств (рис. 1.5).

Таким образом, по определению, A D B = (A È B) \ (A Ç B) = = (A \ B) È (B \ A) = { x | (x Î А и х Ï В) или (x Î B и х Ï A)}.

Определение 1.13. Дополнением множества А (до универсального множества U) называется множество (или A ¢) равное разности U \ А.

Дополнение множества А до универсального множества U заштриховано и изображено на рис. 1.6.

Таким образом, по определению, = U \ А = { x | x Î U и х Ï А } или = { x | х Ï А }.

Пример 1.5. Пусть A = { m, n, p, k, l }, B = { p, r, s, n }. Найти: A È B, A Ç B, A \ B, B \ A, A D B.

Решение.

A È B = { m, n, p, k, l, r, s }; A Ç B = { p, n }; A \ B = { m, k, l }; B \ A = { r, s };

A D B = { m, k, l, r, s }.

Пример 1.6. Пусть A = { х | х Î R, –4 £ х < 1}, B = { х | х Î R, 0 £ х £ 4}. Найти: A È B, A Ç B, A \ B, B \ A, A D B, , .

Решение.

A È B = { х | х Î R, –4 £ х £ 4};

A Ç B = { х | х Î R, 0 £ х < 1};

A \ B = { х | х Î R, –4 £ х < 0};

B \ A = { х | х Î R, 1 £ х £ 4};

A D B = { х | х Î R, –4 £ х < 0, 1 £ х £ 4};

= { х | х Î R, х < –4, х ³ 1};

= { х | х Î R, х < 0, х > 4}.