Правило Верещагина

Определение перемещений в системах, состоящих из прямоли­нейных элементов постоянной жесткости, можно значительно упростить путем применения специального приема вычисления

интеграла вида

В связи с тем что в подын­тегральное выражение входит произведение уси­лий Мт и Мп, являющих­ся ординатами эпюр, пост­роенных для единичного и действительного состояний, этот прием называют спо­собом перемножения эпюр. Его можно использовать в -случае, когда одна из пе­ремножаемых эпюр, нап­ример Мт, прямолинейна; в этом случае (рис. 5.17)

Мm = (х + a) tg а.

Вторая эпюра М_п может иметь любое очертание (прямолинейное, ломаное

или криволинейное).

Подставим значение М_m в выражение

где М_п dx= dΩ_n— дифференциал площади Ω_n эпюры М_n (рис. 5.17),

Интеграл представляет собой статический момент площади Ω_n эпюры М_п относительно оси 0—0' (рис. 5.17). Этот статический момент можно выразить иначе:

где хс—абсцисса центра тяжести площади эпюры Мn. Тогда

Но так как (см. рис. 5.17)

то

(5.26)

Таким образом, результат перемножения двух эпюр равен про­изведению площади одной из них на ординату ус другой (прямоли­нейной) эпюры, взятую под центром тяжести площади первой эпюры.

Способ перемножения эпюр предложен в 1925 г. студентом Мос­ковского института инженеров железнодорожного транспорта А. К. Верещагиным, а потому он называется правилом (или спосо­бом) Верещагина,

Заметим, что левая часть выражения (5.26) отличается от ин­теграла Мора отсутствием в ней жесткости сечения EJ. Следова­тельно, результат выполнения по правилу Верещагина перемноже­ния эпюр для определения искомого перемещения надо разделить на жесткость.

Очень важно отметить, что ордината ус должна быть взята обя­зательно из прямолинейной эпюры. Если обе эпюры прямолиней­ны, то ординату можно взять из любой эпюры. Так, если требуется перемножить прямолинейные эпюры Mi а Мк (рис. 518, а), то не имеет значения, что взять: произведение yk площади эпюры Mi на ординату yk под ее центром тяжести из эпюры Мк или про­изведение Ω_k yi площади эпюры М k на ординату уi под (или над) ее центром тяжести из эпюры Мг.

Когда перемножаются две эпюры, имеющие вид трапеции, то не надо находить положение центра тяжести площади одной из них. Следует одну из эпюр разбить на два треугольника и умножить площадь каждого из них на ординату под его центром тяжести из другой эпюры. Например, в случае, приведенном на рис. 518, б, получим

(5.27)

В круглых скобках этой формулы произведение ас левых орди­нат обеих эпюр и произведение bd правых ординат берутся с коэф­фициентом, равным двум» а произведения ad и bc ординат, расположенных с разных сторон,— с коэффициентом, равным единице.

С помощью формулы (5.27) можно перемножать эпюры, имеющие вид «перекрученных» трапеций; при этом произведения ординат, имеющих одинаковые знаки, берутся со знаком плюс, а разные — -минус. В случае, например, показанном на рис. 5.18,в, результат перемножения эпюр в виде «перекрученной» и обычной трапеций равен (l/6) (2ac-2bd+ad-bc), а в случае, показанном на рис. 5.18, г, равен (l/6) (-2ac-2bd+ad+bc).

Формула (5.27) применима и тогда, когда одна или обе перемно­жаемые эпюры имеют вид треугольника. В этих случаях треуголь­ник рассматривается как трапеция с одной крайней ординатой, равной нулю. Результат, например, перемножения эпюр, показан­ных на рис. 5.18, д, равен (l/6) (2ac+ad).

Умножение эпюры в виде «перекрученной» трапеции на любую другую эпюру можно производить и расчленяя «перекрученную» трапецию на два треугольника, как показано на рис. 5.18, е.

Лекция № 6. Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем: балок, рам, ферм.

План лекции:

1. Метод сил.

1.1. Основная система. Основные неизвестные.

1.2. Система канонических уравнений метода сил для расчета на действие внешней нагрузки.

1.3. Расчет статически неопределимых систем методом сил.

2. Метод перемещений.

2.1. Выбор неизвестных и определение их числа.

2.2. Определение числа неизвестных

2.3. Основная система

2.4. Канонические уравнения

3. Основы расчета систем методом конечных элементов.