Определение перемещений. Интеграл Мора

Универсальный метод определения перемещений (линейных перемещений и углов поворота), возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки, имеет особенно большое значение для расчета статически неоп­ределимых систем. Рассмотрим два состояния сис­темы. В первом состоянии на нее действует любое число каких угод­но сил и моментов (рис. 5.14, а).

Во втором состоянии к системе приложена одна лишь сосредото­ченная сила P₂=1 (рис. 5.14, б). Составим выражение работы A₂₁ силы P₂— 1 на перемещении ∆₂₁ возникающем от сил первого состояния:

Выразим А₂₁(в случае плоской задачи) через внутренние уси лия в стержнях системы [с помощью формул (5.17) и (5.20)]:

(5.22)

Условимся, что черточки над M₂, N₂ и Q₂ указывают на то, что эти внутренние усилия вызваны действием силы, равной единице.

Таким образом, перемещение от любой нагрузки с помощью формулы (5.22) можно выразить через внутренние усилия, возни­кающие в заданной системе от этой нагрузки и возникающие в ней от единичной силы. Направление единичной силы совпадает с на­правлением определяемого перемещения. Если определяется линейное смещение (например, прогиб какой-либо точки оси стержня), то единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточен­ную силу, приложенную в этой точке; если же определяется угол поворота поперечного сечения в какой-либо точке оси стержня, то единичная сила представляет собой сосредоточенный момент (также безразмерный), приложенный в этой точке.

Состояние сооружения, вызванное действием единичной силы, называется единичным состоянием (или фиктивным). В отличие от него состояние, вызванное действием заданной нагрузки, называ­ется действительным (или грузовым).

Иногда цифровые индексы I и 2 в формуле (5.22) заменяются буквенными, например m и n, тогда эта формула принимает вид

(5.23)

где ∆mn—перемещение по направлению «силы» Pm=1, вызванное действием нагрузки п (группы «сил» п).

При размерах поперечных сечений каждого стержня системы, постоянных по длине этого стержня, выражение (5.23) принимает вид

(5.24)

Каждое из равенств (5.22) — (5.24) носит название формулы перемещений (интеграла, или формулы, Мора),

Определение перемещений с помощью полученной формулы производится в следующем порядке:

1) находятся выражения усилий М_n. N_n и Q_n от заданной на­грузки как функции координаты х произвольного сечения;

2) по направлению искомого перемещения прикладывается соот­ветствующая ему единичная сила (при линейном перемещении — сосредоточенная сила, при угле поворота — сосредоточенный мо­мент);

3) определяются усилия M_m, N_m и Q_m от единичной силы как функции координаты х произвольного сечения;

4) найденные выражения усилий M_n N_n Q_n, M_m, N_m и Q_m подставляются в правую часть формулы (5.23) или (5.24) и интегри­рованием по участкам в пределах всего сооружения определяется искомое перемещение ∆mn. Если ∆mn положительно, то перемеще­ние совпадает с направлением единичной силы, а если отрицатель­но, то противоположно этому направлению.

В случае, если элемент конструкции представляет собой брус малой кривизны, определение перемещений может выполняться по формуле Мора, полученной для прямого бруса, с заменой элемента -длины dx в подынтегральном выражении элементом дуги ds.

Иногда, в частности при расчете статически неопределимых систем, приходится определять взаимные перемещения отдельных точек или сечений сооружений. В этом случае в направлении иско­мого перемещения прикладывается обобщенная единичная сила (при определении линейного перемещения) или обобщенный еди­ничный момент (при определении взаимного угла поворота). На­пример, если требуется определить изменение расстояния между точками С и D оси рамы, изображенной на рис. 5.15, а, то следует в точках С и D приложить единичные силы, направленные по линии СО, как показано на рис. 5.15, б. Вычисление интеграла Мора про­изводится по изложенным выше правилам, но при этом под единич­ными внутренними усилиями Мт, Nm, Qm понимаются их значения, соответствующие одновременному действию обеих единичных сил.

В рассматриваемом случае, если результат вычислений интеграла Мора получится положительным, то это будет указывать на то, что направление искомого перемещения совпадает с направлением еди­ничных сил, т. е. расстояние между точками С и D увеличивается; знак минус указывает на уменьшение этого расстояния, т. е. на сближение точек С и D. Аналогично можно определить взаимный угол поворота любых двух сечений рамы например сечений, соответствующих тем же точкам С и D. Для этого в указанных сечениях надо приложить единичные моменты, действующие в противоположных направле­ниях (рис. 5.15, в). В остальном вычисление перемещения произво­дится обычным порядком.

Практически в большинстве случаев плоской задачи использу­ется лишь один член формулы перемещений, а именно, если рас­сматриваются сооружения, преимущественно работающие на изгиб (балки, рамы, а часто и арки), то в формуле перемещений с соблю­дением вполне достаточной точности можно оставить только ин­теграл, зависящий от изгибающих моментов. При расчете сооруже­ний, элементы которых работают в основном на центральное растя­жение и сжатие (например, ферм), можно не учитывать деформации

поперечных сечениях элементов, Эта формула имеет вид

где М_zm и М_уm— изгибающие моменты относительно осей z и у поперечных сечений соответственно, возникающие в единичном состоянии; M_zn и М_уn — то же, в действительном состоянии; Q_zm и Q_ym — поперечные силы, параллельные соответственно осям г и у поперечного сечения, возникающие в единичном состоянии; Q_zn и Q_yn — то же, в действительном состоянии; М_хn и М_хm—крутящие моменты, возникающие в единичном и действительном состояниях соответственно; N_m и N_n— про­дольные силы в этих же состояни­ях; J_к— геометрическая характе­ристика крутильной жесткости: при круглом поперечном се­чении J_k—J_p, где J_p— полярный момент инерции.

Практически в большинстве случаев пространственной задачи используются или только три пер­вых члена последней формулы (ког­да элементы системы работают пре- имущественно на изгиб и круче­ние, например при расчете прост­ранственных рам и ломаных ба­лок), или только четвертый член формулы (например, при расчете пространственных ферм).

В дальнейшем при расчете ба­лок и рам влияние продольных и поперечных сил на перемещение не учитывается, за исключением особо отмеченных случаев. Рассмотрим в качестве при­мера балку постоянного сечения,

свободно лежащую на двух опорах (рис. 516, а) и нагруженную посередине силой Р_п. Определим прогиб балки под силой Р_п с учетом M влияния всех членов формулы Мора (5.24).

Единичным состоянием является состояние, вызванное единичным грузом Р_т—1, действующим на балку в направлении искомого перемещения (рис. 5.16,б).

Продольные силы, возникающие в поперечных сечениях балки от нагрузки, равны нулю. Поэтому второй интеграл формулы (5.24) равняется нулю и эта формула принимает вид

где —прогиб, обусловленный деформацией изгиба (т. е. зави­сящий от изгибающих моментов):

—прогиб, обусловленный деформацией сдвига (т. е. завися­щий от поперечных сил):

Для сечений балки в пределах от левой опоры до середины балки изгибающие моменты Мп и Мт и поперечные силы Qп и Qm равны:

Эпюры М_n, М_m, Q_n и Q_m изображены на рис. 5.16, в, г, д, е. Эпюры М_n и M_m построены на сжатых волокнах балки.

Подставим значения моментов и поперечных сил в выражения' для и

Интегрирование ведется в пределах левой половины балки; числовые коэффициенты 2 перед интегралами учитывают, что ввиду симметрии балки величина интеграла для правой ее половины та­кая же, как и для левой.

Полный прогиб

Знак плюс указывает на то, что направление прогиба совпадает с направлением единичной силы.

Найдем соотношение между прогибами, зависящими от попереч­ных сил и изгибающих моментов. Предположим, ври этом, что рас­сматриваемая балка имеет прямоугольное поперечное сечение со сторонами b и h и что h=0,1l:

Подставив в последнюю формулу значения J=bh3/12=bl3/12000; F=bh=bl/10;; η= 1,2 и приняв G = 0,4E, получим

т. е. прогиб, вызванный деформацией сдвига, составляет только 3% от прогиба, вызванного деформацией изгиба.

Влияние поперечных сил на прогиб тем меньше, чем меньше отношение h/l. Так, при h=l/20

Совершенно очевидно, что величиной по сравнению с , можно пренебречь. Тогда

Этот результат совпадает с результатом, известным из курса сопротивления материалов.