Расчет статически неопределимых систем методом сил

Заданная система

Исходные данные   L = 10 м; а = 1 м; b = 1 м; h = 8 м; Р = 20 кН; q = 10 кН/м JP=2*JC

Рисунок 6.4 – Заданная система

Определение степени статической неопределимости.

Для определения степени статической неопределимости вычислим число степеней свободы заданной системы по формуле.

W = 3*Д - 2*Ш₀ - С₀ = 3*2 – 2*2 – 3 = -1

Это значит, что система имеет одну лишнюю связь, то есть она один раз статически неопрелелима.

Выбор основной системы метода (О.С.)сил.

Основная система метода сил получается из заданной путем удаления лишних связей. На рисунке 1.38 показана О.С. для рассматриваемой задачи.

Записываем каноническое уравнение метода сил.

δ₁₁*Х₁ + Δ_1р = 0, (6.3)

где δ₁₁ – перемещение точек приложения сил Х₁ от сил Х₁ = 1;

Δ_1р – перемещение точек приложения сил Х₁ от внешней нагрузки;

Решая уравнение (1), получим

Х₁ = - Δ_1р/ δ₁₁

Для определения коэффициентов уравнения (6.3) необходимо построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от Х₁ = 1 и внешней нагрузки. Эти эпюры представлены на рисунках 6.5 и 6.6.

Для построения эпюры М_р необходимо определить опорные реакции.

(6.4)

Решая систему уравнений (6.4), получим:

Н_А=q*h=10*8=80 кН; V_B=(P*L-q*h²/2)/L=(20*10-10*8²/2)/10= -12 кН

V_A=2*P-V_B=2*20-(-12)=52 кН

Определим параметры рамы, которые будут необходимы для вычислений:

tgα=a/h=1/8=0,125; α=arc0,125=7,916⁰; sin α=0,124; cos α=0,992.

Строим эпюру М_Р с учетом полученных реакций, действующих в опорах рамы (см. рисунок 4, на котором реакция V_B показана правильно, с учетом полученного в расчете знака). Для этого определим в аналитической форме изгибающий момент в произвольном сечении наклонной стойки ВС, расстояние до которого от опоры «В» обозначим через «х» (см. рисунок 6.6):

М_х=V_B*х*tg α+q*x²/2 (6.5)

Определим значения М_Р в характерных точках рамы. Это точки С, D, E, F.

М_С=М_х|_х=8= V_B*8*tg α+q*8²/2=12*8*0,125+10*64/2=332 кН*м.

М_D= V_B*(a+b)+q*h²/2=12*2+10*64/2=344 кН*м

М_Е= V_B*(L-a-b)+P*(L-2*a-2*b)+q*h²/2=12*8+20*6+10*64/2=476 кН*м

М_F=Н_А*8-V_A*a=80*8-52*1=588 кН*м

Определим коэффициенты δ₁₁ и Δ_1Р, по формулам:

(6.6)

Δ_1Р= (6.7)

Вычислим формулы (1.49) и (1.50) с использованием метода Верещагина для вычисления интегралов:

Вычислим Х₁ и построим эпюру М₁*Х₁ (см. рисунок 6.7)

Х₁= - Δ_1р/ δ₁₁= - 40395/600= - 67,32 кН

7. Окончательную эпюру М_ОК (см. рисунок 6) строим по формуле

М_ОК=М₁* Х₁+М_Р (6.8)

Выполним расчет на прочность рамы, подобрав сечение сварного двутара по максимальному изгибающему моменту. Расчетная формула:

σ = (М_max/W) ≤ [σ], откуда

W ≥ М_max/[σ]=(206*10³*10⁶)/(180*10⁶)=1144 см³