Теорема о взаимности перемещений

Рассмотрим два состояния системы. В первом состоянии к систе­ме приложена сила P₁=1, а во втором — сила P₂=1 (рис. 5.12).

Обозначим перемещения, вызванные единичными силами или моментами (т. е. силами Р=1 или моментами М=1), знаком δ в отличие от перемещений, вызванных силами и моментами, не рав­ными единице, обозначаемых знаком ∆. В соответствии с этим пере­мещение рассматриваемой системы по направлению единичной силы. P₂ в первом состоянии (т. е. вызванное силой P₁=1) обозначим δ₂₁. а перемещение по направлению единичной силы P₁ во втором состоянии обозначим δ₁₂ (рис. 5.12).

На основании теоремы о взаимности работ [см. формулу (5 16)] для рассматриваемых двух состояний

но так как

То

или в общем случае действия любых единичных сил

(5.21)

Полученное равенство носит название теоремы о взаимности перемещений (теоремы, или принципа, Максвелла): для двух еди ничных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному первой силой. Для иллюстрации теоремы Максвелла в качестве примера рас смотрим два состояния балки, изображенной на рис. 5.13.

В первом состоянии на балку действует сила Р=1, а во втором — момент Угол поворота ϑ_a, вызванный силой Р=1, на основании формулы (5.21) должен быть численно равен прогибу y_l вызванному моментом M=1, т. е. ϑ_a=y_l

Определим значения ϑ_a и y_l методом начальных параметров. В первом состоянии (рис. 5.13, а)

во втором состоянии (рис. 5.13,б)

При M=P=1

Т.е

Единичные перемещения (например, перемещения, вызванные отвлеченной единичной силой Р=1 или отвлеченным единичным моментом М=1) имеют размерности, отличные от обычных размер­ностей перемещений. Размерность единичного перемещения представ­ляет собой размерность отношения перемещения (не единичного) к вызвавшей его нагрузке. Так, например, в рассмотренном при­мере единичный угол поворота ϑa, вызванный силой P=1, выражен в 1/кН, единичный прогиб yl, вызванный моментом M=1, выражен в м/кН*м, или 1/кН, т. е. в тех же функциях, что и угол ϑa.