Теорема о взаимности работ

Перемещения (прогибы и углы поворота) системы в результате ее деформации условимся обозначать ∆mn, где индекс т указывает направление перемещения, а n — причину, вызвавшую его. Таким образом, ∆тп— перемещение по направлению «силы» m, вызванное «силой» п. Перемещение ∆mn может представлять собой либо линей­ное смещение, либо угол поворота (в радианах) в зависимости от того, является сила т сосредоточенной силой или сосредоточенным моментом. Под силой п понимается любая нагрузка, действующая на сооружение, например нагрузка, состоящая из нескольких со­средоточенных сил и моментов и какой угодно распределенной на­грузки.

Рассмотрим два состояния упругой системы, находящейся в рав­новесии. В каждом из этих состояний на систему (сооружение) действует некоторая статическая на­грузка» например в первом сос­тоянии сила Р1 а во втором — сила Р2 (рис. 5.9).

На рис. 5.9 показаны переме­щения ∆₁₁, ∆₁₂, ∆₂₁ и ∆₂₂, кото­рые представляют собой:

∆₁₁— перемещение по направ­лению силы Р₁ от действия си­лы P₁; ∆₁₂— перемещение по направлению силы P₁ от действия си-

∆₂₁— перемещение по направ­лению силы P₂ от действия си­лы P₁, ∆₂₂— перемещение по направлению силы Р₂ от действия силы Р₂. Работу силы P₁ (т. е. нагрузки первого состояния) на вызванных ею перемещениях (т. е. на перемещениях первого же состояния) обозначим A₁₁, а работу силы Р₂ на вызванных ею перемещениях —

Числовые величины этих работ при статическом действии сил равны [(см. выражение (5.4)]:

(5.12)

Работы A₁₁ и A₂₂ (в случае плоской задачи) с помощью формулы (5.9) можно выразить через внутренние усилия, возникающие в по­перечных сечениях стержней системы:

Рассмотрим теперь случай статического нагружения той же системы (см. рис. 5.9) силами P1 и P2 в такой последовательности. Сначала к системе прикладывается статически нарастающая сила Р1 (рис. 5.10). Когда процесс ее статического нарастания закончен, деформация системы и внутренние усилия, действующие в ней, становятся такими же, как и в первом состоянии, изображенном на рис. 5.9, а. Работа силы Р1 в процессе ее нарастания от нуля до ее конечного значения равна A11=P1∆11/2. Затем на систему начи­нает действовать также статически нарастающая сила Р2(рис. 5.10).

В результате этого система получает дополнительные деформации и в ней возникают дополнительные внутренние усилия, равные деформациям и усилиям во втором состоянии, изображенном на рис. 5.9, б.

В процессе нарастания силы Pa от нуля до ее конечного значения сила Р₁, оставаясь постоянной, перемещается вниз на величину дополнительного про­гиба ∆₁₂ и, следовательно, совершает дополнительную работу, равную А₁₂=Р₁∆₁₂; сила P₂ при этом совершает работу A₂₂= =P₂∆₂₂/2. Таким образом, полная работа А при последовательном нагружении системы си­лами P₁ и Р₂ равна:

(5.14)

С другой стороны, работу А сил P1 и Р2 можно определить по формуле (5.4) как полусумму произведений каждой из этих сил на соответствующее ей полное перемещение, вызванное обеими силами (рис. 5.11):

(5.15)

Приравниваем друг другу выражения (5.14) и (5.15):

откуда

(5.16)

Значение P₁A₁₂ представляет собой работу А₁₂ силы P₁ первого состояния (см. рис. 5.9, а) на перемещении по ее направлению, вы­званном силой Р₂ второго состояния (см. рис. 5.9, б). Аналогично, P₂∆₂₁ представляет собой работу А ₂₁ силы Р₂ второго состояния на перемещении по ее направлению, вызванном силой P₁ первого состояния.

Следовательно,

Такой же результат был бы получен, если бы в каждом из рассмотренных сос тояний (см. рис. 5.9, а, б) к системе прикладывалась не одна сила, а. любое число сил и моментов.

Таким образом, работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния.

Этот вывод носит название теоремы о взаимности работ или теоремы Бетти. Выразим работу А12 через изгибающие моменты, продольные и поперечные силы, возникающие в первом и втором состояниях.

Из выражения (5.14)

(5.18)

где А — полная работа, совершаемая силами P₁ и Р₂ на переме­щениях, вызванных этими же силами. На основании формулы (5.11)

(5.19)

где суммы M₁+M₂, N₁+N₂ и Q₁+Q₂ представляют собой пол­ные значения внутренних усилий в поперечных сечениях стерж­ней от суммарного действия сил P₁ и P₂

Подставим в правую часть формулы (5.18) выражения А, A₁₁ и A₂₂ по формулам (5.19) и (5.13):

или

Каждое подынтегральное выражение в правой части равенства (5.20) можно рассматривать как произведение внутреннего усилия (например, изгибающего момента M1), возникающего в сечении стержня от сил первого состояния, на деформацию [например, N2dx/(EJ)] элемента dx, вызванную силами второго состояния.