Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором прямая, соединяющая две любые точки этого те­ла

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором прямая, соединяющая две любые точки этого те­ла, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Точки твердого тела, совершающего поступательное движе­ние, перемещаются как по прямолинейным, так и по криволи­нейным траекториям.

Основные свойства поступательного движения твердого тела определяются теоремой: при поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый момент вре­мени имеют одинаковые по величине и направлению скоро­сти и ускорения.

Поступательное движение твердого тела характеризуется заданием дви­жения одной его точки, обычно цен­тра масс, и может быть задано лю­бым из изученных способов. Для за­дания поступательного движения тела в декартовой системе координат дос­таточно записать: . Эти выражения будут зако­ном поступательного движения.

Скорость и ускоре­ние твердого тела на­ходят по формулам, применяемым в кине­матике точки.

Вращательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвижными. Эта прямая называется осью вращения тела.

При этом движении все остальные точки тела движутся в плоско­стях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

При вращении тела угол поворота φ изменяется в зависимости от времени, т. е. является функцией времени t:

.

Это yравнение называется уравнением вращательного движения тела.

Если известно число оборотов N за какой-то промежуток времени, то угол поворота равен:

,

где N — число оборотов, совершаемое вращающимся телом за определенный промежуток времени.

Величина, характеризующая быстро­ту изменения угла поворота φ с течением времени, называется угловой скоростью тела .

,

или

,

где n — число оборотов, совершаемых вращающимся телом за единицу вре­мени (об./мин).

Числовая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела.

.

Уравнение равнопеременного вращения тела имеет вид:

,

а уравнение угловой скорости определяется по зависимости:

,

где , — начальный угол поворота и начальная угловая скорость.

Модуль вращательной скорости точки твердого тела равен произве­дению расстояния от точки до оси вращения на угловую скорость тела.

.

Ускорение точки М определим по его составляющим: касательному ускорению, направленному по касательной к окружности, и нормальному ускорению, направленному к центру С. Эти ускорения точек вращающегося тела называют вращательным и центростремительным ускорениями и обозначают и .

Модуль вращательного ускорения точки твердого тела равен произ­ведению расстояния от точки до оси вращения на модуль углового ускорения тела.

,

Модуль центростремительного ускорения точки твердого тела равен произведению расстояния от точки до оси вращения на квадрат угло­вой скорости

.

Модуль полного ускорения точки

Тангенс угла β составленного уско­рением с радиусом окружности

.

При решении задач на вращение твердого тела вокруг неподвижной оси рекомендуется придерживаться такой последовательности действий.

Первый тип задач – дано уравнение вращения твердого тела, требуется определить угловую скорость, угловое ускорение, скорость и ускорение твердого тела:

выбираем систему координат так, чтобы одна из осей (для определенности ось z) совпадала с осью вращения;

составляем уравнение вращения твердого тела (зависимость угла поворота от времени);

дифференцируя по времени угол поворота, определяем проекцию угловой скорости на ось вращения;

вычисляя вторую производную от угла поворота по времени, находим проекцию углового ускорения на ось вращения;

пользуясь выражением проекции угловой скорости на ось вращения, вычисляем линейную скорость точки и ее центростремительное ускорение;

пользуясь выражением проекции углового ускорения на ось вращения, определяем вращательное ускорение точки;

по найденным центростремительному и вращательному ускорениям находим полное ускорение точек по величине и направлению.

Второй тип задач – задано угловое ускорение или угловая скорость твердого тела; требуется найти уравнение вращения, скорость и ускорение точки твердого тела:

интегрируя дифференциальное уравнение, определяющее проекцию углового ускорения на ось вращения, находим проекцию угловой скорости;

произвольную постоянную интегрирования определяем по начальным условиям;

интегрируя дифференциальное уравнение, определяющее проекцию угловой скорости на ось вращения, находим уравнение вращения твердого тела;

произвольную постоянную интегрирования определяем по начальным условиям;

пользуясь выражением проекции скорости на ось вращения, вычисляем величину скорости и центростремительного ускорения точки;

определяем величину вращательного ускорения точки, зная проекцию углового ускорения на ось вращения, и далее находим полное ускорение точки.