Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Заказать  
 

Примеры решения задач. Задача 8.3.1. Колесо радиуса r = 1 м катится без скольжения уско­ренно по прямолинейному рельсу, имея в данный момент времени скорость центра vo =1 м/с и



Задача 8.3.1. Колесо радиуса r = 1 м катится без скольжения уско­ренно по прямолинейному рельсу, имея в данный момент времени скорость центра vo =1 м/с и ускорение центра aо— 1 м/с2 (рис. 8.5). Определить угловую скорость и уг­ловое ускорение колеса, скорости и ускорения точек его обода М1, М2, М3 и М4, а также установить положение МЦС и МЦУ колеса.

Рис.8.5 Рис. 8.6

Решение.

I. Определение скоростей. У колеса, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности, МЦС (точка Р) находится в точке касания с этой поверхностью (рис. 8.6). В данном случае это точка M1 (М1 = Р): .

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны рас­стояниям от этих точек до МЦС: , где ω — уг­ловая скорость тела. Применяем эту формулу к точке О: vo =ω|ОР| = ωr, откуда ω = vo/r = 1 с1.

Для точек М2 и М3 расстояния до точки Р одинаковы, поэтому одинаковы и модули скоростей этих точек:

м/с.

Скорость точки М3 м/с. Направления скоростей перпендикулярны отрезкам, со­единяющим точки с МЦС.

Для вычисления скоростей можно было использовать также и теорему о сложении скоростей, выбрав в качестве полюса центр колеса: , где vMO = ω|МО|. Ско­рость перпендикулярна отрезку МО и направлена по ходу вращения.

Можно было также пользоваться и следствием из этой теоремы о равенстве проекций скоростей точек на ось, проходящую через эти точки.

2. Определение ускорений. Вычислим сначала угловое ускорение колеса, формально дифференцируя выражение угловой скорости

.

В данном случае использован тот факт, что движение центра колеса прямолинейное и, следовательно, касатель­ное ускорение точки совпадает с полным ускоре­нием.

Для вычисления ускорений точек колеса применим теорему о сложении ускорений: , выбрав в качестве полюса центр колеса. Вращательное ускорение точки относительно полюса и направлено перпендикулярно отрезку МО по ходу угло­вого ускорения а центростремительное все­гда направлено от точки к полюсу.

Тогда для точек М1, М2, М3 и М4 получим , . Направления их показаны на рис. 8.7.

Рис. 8.7 Рис. 8.8

Складывая в каждой точке три вектора, модули кото­рых равны по 1 м/с2, получаем м/с2, м/с2.

3. Определение положения МЦУ. Найти положение МЦУ (точки Q, ускорение которой равно нулю) можно на основании известных положений:

а) все ускорения составляют один и тот же угол β с направлениями из этих точек на МЦУ:

.

В данном случае tg β = 1 и β = 45°. Повернув каждое ускорение на угол β по ходу углового ускорения, мы на пересечении лучей и получим точку Q (рис. 8.8). Итак, МЦУ колеса при принятых исходных данных оказывает­ся на середине отрезка М1M4;

б) ускорения точек пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦУ:

.

В силу одинаковости расстояний до МЦУ в данном слу­чае оказываются равны между собой модули ускорений , а также . Из всех точек колеса самое большое ускорение будет иметь точка D (рис.8.8):

.

Задача 8.3.2. Кривошип OA длиной 0,2 м вращается рав­номерно с угловой скоростью ωOA = 10 с–1 и при­водит в движение шатун АВ длиной 1 м. Пол­зун В движется по вертикали. Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также скорость и ускорение ползуна в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с вертикалью угол 45° (рис. 8.9).

Решение.

1. Определение скоростей. Вычис­лим скорость точки А как точки вра­щающегося кривошипа:

.

Она направлена перпендикулярно ОА (рис. 8.10).

Рис. 8.9 Рис. 8.10 Рис. 8.11

Скорость vB ползуна направлена по направляющей вертикально.

Для шатуна АВ, совершающего плоское движение, теперь известны направления скоростей двух его то­чек: А и В. Восставляя перпендику­ляры к векторам этих скоростей, на­ходим точку Р их пересечения — МЦС шатуна.

Используя известную формулу для скоростей точек при плоском движении, получаем ; .

Из треугольника АВР имеем |АР| = 1 м; |ВР| = м, и тогда

.

2. Определение ускорений. Вычислим сначала ускоре­ние точки А как точки кривошипа: .

Здесь вращательное ускорение , так как , поскольку .

Тогда полное ускорение точки А равно центростремительному

и направлено к оси вращения — точке О (рис. 8.11).

Для вычисления ускорения точки В воспользуемся тео­ремой о сложении ускорений, взяв точку А в качестве полюса:

. (*)

Центростремительное ускорение точки В в относи­тельном вращении вокруг точки А по модулю равно , и направлено от точки В к полю­су — точке А.

Модуль вращательного ускорения определяется по формуле и пока не может быть вычислен, поскольку неизвестна величина углового ускорения . Направление вектора также не может быть определе­но однозначно, так как неизвестно направление углового ускорения, т. е. неизвестно, ускоренным или замедлен­ным является поворот шатуна. Примем пока этот поворот ускоренным, тогда направление совпадет с направле­нием , а вектор направим перпендикулярно от­резку ВА по ходу углового ускорения.

Вектор ускорения точки В направлен по вертикальной прямолинейной направляющей. Будем пока считать дви­жение ползуна ускоренным и направим ускорение в ту же сторону, что и скорость (рис. 8.10, 8.11).

Теперь в равенстве (*) все ускорения имеют определен­ное направление, и мы можем записать это уравнение в проекциях на выбранные оси:

.

Из последнего уравнения получаем , тогда из первого уравнения

.

Отсюда следует, что

.

Отрицательные знаки у величин и показывают, что их истинные направления противоположны принятым.





Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 7275 | Нарушение авторского права страницы | Заказать написание работы



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2019 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с)...Наверх