Примеры решения задач. Задача 8.3.1. Колесо радиуса r = 1 м катится без скольжения уско­ренно по прямолинейному рельсу, имея в данный момент времени скорость центра vo =1 м/с и

Задача 8.3.1. Колесо радиуса r = 1 м катится без скольжения уско­ренно по прямолинейному рельсу, имея в данный момент времени скорость центра v_o = 1 м/с и ускорение центра a _о— 1 м / с ² (рис. 8.5). Определить угловую скорость и уг­ловое ускорение колеса, скорости и ускорения точек его обода М₁, М₂, М₃ и М₄, а также установить положение МЦС и МЦУ колеса.

Рис.8.5 Рис. 8.6

Решение.

I. Определение скоростей. У колеса, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности, МЦС (точка Р) находится в точке касания с этой поверхностью (рис. 8.6). В данном случае это точка M ₁ (М ₁ = Р): .

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны рас­стояниям от этих точек до МЦС: , где ω — уг­ловая скорость тела. Применяем эту формулу к точке О: v _o = ω | ОР | = ωr, откуда ω = v _o/ r = 1 с^{– 1}.

Для точек М ₂ и М ₃ расстояния до точки Р одинаковы, поэтому одинаковы и модули скоростей этих точек:

м/с.

Скорость точки М ₃ м/с. Направления скоростей перпендикулярны отрезкам, со­единяющим точки с МЦС.

Для вычисления скоростей можно было использовать также и теорему о сложении скоростей, выбрав в качестве полюса центр колеса: , где v_MO = ω | МО |. Ско­рость перпендикулярна отрезку МО и направлена по ходу вращения.

Можно было также пользоваться и следствием из этой теоремы о равенстве проекций скоростей точек на ось, проходящую через эти точки.

2. Определение ускорений. Вычислим сначала угловое ускорение колеса, формально дифференцируя выражение угловой скорости

.

В данном случае использован тот факт, что движение центра колеса прямолинейное и, следовательно, касатель­ное ускорение точки совпадает с полным ускоре­нием.

Для вычисления ускорений точек колеса применим теорему о сложении ускорений: , выбрав в качестве полюса центр колеса. Вращательное ускорение точки относительно полюса и направлено перпендикулярно отрезку МО по ходу угло­вого ускорения а центростремительное все­гда направлено от точки к полюсу.

Тогда для точек М ₁, М ₂, М ₃ и М ₄ получим , . Направления их показаны на рис. 8.7.

Рис. 8.7 Рис. 8.8

Складывая в каждой точке три вектора, модули кото­рых равны по 1 м / с ², получаем м / с ², м / с ².

3. Определение положения МЦУ. Найти положение МЦУ (точки Q, ускорение которой равно нулю) можно на основании известных положений:

а) все ускорения составляют один и тот же угол β с направлениями из этих точек на МЦУ:

.

В данном случае tg β = 1 и β = 45°. Повернув каждое ускорение на угол β по ходу углового ускорения, мы на пересечении лучей и получим точку Q (рис. 8.8). Итак, МЦУ колеса при принятых исходных данных оказывает­ся на середине отрезка М ₁ M ₄;

б) ускорения точек пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦУ:

.

В силу одинаковости расстояний до МЦУ в данном слу­чае оказываются равны между собой модули ускорений , а также . Из всех точек колеса самое большое ускорение будет иметь точка D (рис.8.8):

.

Задача 8.3.2. Кривошип OA длиной 0,2 м вращается рав­номерно с угловой скоростью ω_OA = 10 с^–1 и при­водит в движение шатун АВ длиной 1 м. Пол­зун В движется по вертикали. Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также скорость и ускорение ползуна в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с вертикалью угол 45° (рис. 8.9).

Решение.

1. Определение скоростей. Вычис­лим скорость точки А как точки вра­щающегося кривошипа:

.

Она направлена перпендикулярно ОА (рис. 8.10).

Рис. 8.9 Рис. 8.10 Рис. 8.11

Скорость v_B ползуна направлена по направляющей вертикально.

Для шатуна АВ, совершающего плоское движение, теперь известны направления скоростей двух его то­чек: А и В. Восставляя перпендику­ляры к векторам этих скоростей, на­ходим точку Р их пересечения — МЦС шатуна.

Используя известную формулу для скоростей точек при плоском движении, получаем ; .

Из треугольника АВР имеем | АР | = 1 м; | ВР | = м, и тогда

.

2. Определение ускорений. Вычислим сначала ускоре­ние точки А как точки кривошипа: .

Здесь вращательное ускорение , так как , поскольку .

Тогда полное ускорение точки А равно центростремительному

и направлено к оси вращения — точке О (рис. 8.11).

Для вычисления ускорения точки В воспользуемся тео­ремой о сложении ускорений, взяв точку А в качестве полюса:

. (*)

Центростремительное ускорение точки В в относи­тельном вращении вокруг точки А по модулю равно , и направлено от точки В к полю­су — точке А.

Модуль вращательного ускорения определяется по формуле и пока не может быть вычислен, поскольку неизвестна величина углового ускорения . Направление вектора также не может быть определе­но однозначно, так как неизвестно направление углового ускорения, т. е. неизвестно, ускоренным или замедлен­ным является поворот шатуна. Примем пока этот поворот ускоренным, тогда направление совпадет с направле­нием , а вектор направим перпендикулярно от­резку ВА по ходу углового ускорения.

Вектор ускорения точки В направлен по вертикальной прямолинейной направляющей. Будем пока считать дви­жение ползуна ускоренным и направим ускорение в ту же сторону, что и скорость (рис. 8.10, 8.11).

Теперь в равенстве (*) все ускорения имеют определен­ное направление, и мы можем записать это уравнение в проекциях на выбранные оси:

.

Из последнего уравнения получаем , тогда из первого уравнения

.

Отсюда следует, что

.

Отрицательные знаки у величин и показывают, что их истинные направления противоположны принятым.