Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач. Кинематика — это раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение материальных тел без рассмот­рения условий

Кинематика — это раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение материальных тел без рассмот­рения условий, вызывающих или изменяющих это движение.

Движение материальных тел происходит в пространстве и во времени. Пространство рассматривают как трехмерное евклидо­во, время в этом пространстве одинаково во всех его точках и не зависит от движения материальных тел.

Под механическим движением понимают изменение положе­ния одного тела относительно другого.

Системой отсчета называют систему координат, связанную с одним из тел. Если тело движется, то система отсчета подвиж­на, если тело в покое, то система отсчета неподвижна.

Основные задачи кинематики:

1. Установление закона движения тела по отношению к вы­бранной системе отсчета.

2. Определение по заданному закону движения тела кинема­тических характеристик этого движения: траектории, ско­рости, ускорения, угловой скорости и ускорения и т. д.

Движение точки считают заданным, если известен способ, позволяющий установить ее положение относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени.

Существуют три способа задания движения точки: вектор­ный, координатный, естественный.

Векторный способ задания движения заключается в задании положения точки радиусом-вектором, который является век­торной функцией времени, относительно выбранной точки от­счета.

.

Траектория точки М при век­торном способе — это геометриче­ское место точек концов радиуса-вектора при изменении времени, т. е. годограф радиуса-вектора.

Годограф — это кривая, которую описывает конец радиуса-вектора при изменении его аргумента, когда начало вектора находится в одной и той же точке.

Скорость точки характеризует быстроту и направление движения точки и равна производной радиуса-вектора точки по времени:

.

В механике производную по времени обозначают точкой над переменной.

Вектор скорости точки направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения.

Ускорение точки характеризует быстроту изменения величины и направления скорости точки и равно первой производной век­тора скорости по времени или второй производной радиуса-вектора по времени:

.

Вектор ускорения направлен по касательной к годографу вектора скорости.

Координатный способ задания движения заключается в зада­нии координат точки в виде известных, непрерывных, дважды дифференцируемых функций времени.

В декартовой системе коорди­нат уравнениями движения точки будут

.

Скорость точки в декартовых координатах:

,

где — проекции вектора скорости на соответствующие оси координат;

.

Углы вектора скорости с осями координат:

.

Ускорение точки в декартовых координатах:

,

( — проекции вектора ускорения на соответствующие оси координат):

.

Углы вектора ускорения с осями координат:

.

Естественный способ задания движения считается известным, если заданы:

1. Траектория точки.

2. Закон движения точки по траектории .

3. Начало отсчета.

4. Положительное и отрицательное направления движения.

Закон движения также называют дуговой координа­той, которую отсчитывают от начального положения. Дуговую координату не следует смешивать с длиной пути, пройденного точкой, так как за начало отсчета может быть выбрана любая точка или движение может быть колебатель­ным.

При естественном способе задания движения точки в качестве координатных осей принимают естественные оси (оси естественного трехгранника): — каса­тельная, — нормаль, — бинормаль.

Скорость точки ,

или

.

Ускорение точки

.

Ускорение точки состоит из двух взаимно перпендикулярных
составляющих. Одна направлена по касательной к траектории, а другая - по нормали к этой траектории в сторону ее вогнутости. Эти составляющие называют соответственно касательным и нормальным ускорениями точки. Они лежат в со­прикасающейся плоскости. Проекция ускорения точки на би­нормаль равна нулю, так как вектор ускорения расположен в соприкасающейся плоскости (рис. 6.1):

.

Рис. 6.1

Вектор касательного ускорения

,

модуль касательного ускорения

.

Вектор нормального ускорения

,

модуль нормального ускорения

.

Модуль ускорения равен:

.

Угол отклонения вектора ускорения от нормали составит (рис. 6.1):

.