Свойства. 1. Если в смешанном произведении поменять местами какие-то два множителя, то смешанное произведение изменит знак

1. Если в смешанном произведении поменять местами какие-то два множителя, то смешанное произведение изменит знак, то есть .

2. Если в смешанном произведении сделать циклическую пере-становку множителей, то произведение не изменится, то есть

.

3. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.

Доказательство. 1) Пусть векторы компланарны, воз-можны следующие случаи:

а) один из векторов нулевой, например, , у него любое направление, поэтому он лежит в плоскости двух других векто-ров(значит векторы компланарны), тогда

;

б) какие-то два вектора коллинеарны, например, , тогда вектор будет параллелен плоскости, построенной на векторах и (по признаку параллельности прямой и плоскости), то

есть векторы компланарны, тогда .

в) все векторы ненулевые и нет коллинеарных векторов, тогда

, то есть вектор перпендикулярен плоскости векторов и , а в этой плоскости лежит и вектор , следовательно, , тогда (свойство

скалярного произведения).

2) Пусть , векторы ненулевые и нет коллинеарных векторов, отсюда следует, что , а по определению, то есть векторы комп-ланарны.