Доведення. Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему

Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему.

Доведемо, що вектори колінеарні.

Отже один з векторів є лінійною комбінацією. Нехай це (для визначеності). Тоді , тобто вектори колінеарні.

Достатність. Припустимо, що . Покажемо, що система лінійно залежна.

Можливі випадки:

1) Принаймні один з векторів нульовий. Тоді твердження очевидне, тому що в системі міститься лінійно залежна підсистема.

2) Обидва вектори ненульові.

Для доведення потрібна така лема.

Лема. Якщо і , то : .

Дійсно, якщо , то , якщо , то .

Згідно із лемою маємо, що . Таким чином система лінійно залежна.