I. Скалярний добуток

1. Скалярна проекція вектора на вісь.

Почнемо з допоміжного поняття величини напрямленого відрізку.

Розглянемо вісь u і напрямлені відрізки на осі u.

Означення 1. Величиною напрямленого відрізку називається число, що позначається :

Розглянемо тепер вектори, що не обов’язково належать осі u.

B

A

Означення 2. Векторною проекцією вектора AB на вісь u називається вектор , де ортогональна проекція точки A, – отрогональна проекція точки B.

Позначимо векторну проекцію

Означення 3. Скалярною проекцією вектора на вісь u називається величина його векторної проекції

.

Теорема 1. Скалярна проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини цього вектора на косинус кута між вектором та віссю.

Доведення. (навести доведення)

Для доведення властивостей скалярних проекцій векторів корисною є теорема про геометричний зміст декартових прямокутних координат.

Теорема 2. Декартові прямокутні координати є проекціями вектора на відповідні координатні осі.

Скалярна проекція має такі властивості.

Теорема 3. Скалярна проекція суми двох векторів дорівнює сумі скалярних проекцій цих векторів

.

Доведення. (навести доведення)

Теорема 4. Скалярна проекція добутку вектора на число дорівнює добутку цього числа на скалярну проекцію вектора

.

2. Поняття скалярного добутку.

Означення 3. Скалярним добутком двох векторів і називається число , що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Останню рівність можна записати у вигляді

або

Звідси випливає інше означення скалярного добутку.

Означення 4. Скалярним добутком векторів та називається добуток довжини одного з векторів на скалярну проекцію другого вектора на напрямок першого.

3. Алгебраїчні та геометричні властивості скалярного добутку

Доведемо, що скалярний добуток має такі алгебраїчні властивості:

1) (властивість симетрії)

2) (дистрибутивність)

3)

4)

(навести доведення перелічених властивостей).

Зауваження. З властивостей 3) та 1) випливає, що .

Зі скалярним добутком пов’язана така геометрична властивість:

Для того щоб вектори були ортогональними (перпендикулярними) необхідно і достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю (навести доведення необхідності і достатності умови).

4. Вираз скалярного добутку через координати векторів

Означення. Базис простору (площини) називається ортонормованим, якщо він складається з попарно ортогональних векторів, довжина яких дорівнює одиниці.

Нехай в просторі введено ортонормований базис , тобто

нехай далі вектори і мають координати , відповідно.

Теорема. Скалярний добуток в ортонормованому базисі дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів і , тобто

Доведення. (навести доведення)

З означення скалярного добутку і отриманої формули випливає:

1)

2)