Доведення. Доведемо цю теорему в просторі

Доведемо цю теорему в просторі.

Розглянемо базисні вектори . Візьмемо довільний вектор .

Зауважимо, що можливість розкладання доведено у теоремі 4 про геометричний зміст лінійної залежності.

Тож маємо .

Доведемо єдиність розкладання.

Припустимо супротивне, що для має місце ще одне розкладання.

.

Зауважимо, що оскільки розкладання відрізняються, то різними є принаймні одна пара коефіцієнтів c_i, d_i. Припустимо (для визначеності), що .

Тоді отримуємо:

Оскільки , то отримано рівність , що стверджує про лінійну залежність векторів базису. Отримано суперечність до означення базису.