Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса)

Запишемо загальну систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Домовимось позначати коефіцієнти при невідомих . Перший індекс вказує номер рівняння, другий індекс – номер невідомого. Невідомі (змінні) позначатимемо буквами , а вільні члени – .

Тоді систему рівнянь з невідомими можна записати у вигляді:

(1)

Означення 1. Розв’язком системи (1) називається упорядкована система n чисел, після підстановки яких замість відповідно, кожне рівняння перетворюється на правильну числову рівність.

Означення 2. Система (1) називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв’язок. Якщо ж система не має жодного розв’язку, вона називається несумісною.

Сумісні системи підрозділяються також на визначені і невизначені.

Означення 3. Сумісна система називається визначеною, якщо вона має лише один розв’язок. В іншому разі сумісна система називається невизначеною.

Основні задачі теорії лінійних рівнянь такі:

1. Дослідити систему на сумісність.

2. Сумісну систему дослідити на визначеність і невизначеність.

3. Дати алгоритми розв’язування.

Суть розв’язування систем рівнянь полягає в тому, щоб звести всі рівняння до рівнянь вигляду:

(2)

або до розв’язування одного рівняння з декількома невідомими з подальшим розв’язуванням рівнянь виду (2).

Інструментом розв’язування системи є елементарні перетворення.

Означення 4. Елементарними перетвореннями системи (1):

1) перестановка двох рівнянь;

2) множення обох частин деякого рівняння на число, не рівне 0;

3) додавання до одного з рівнянь іншого рівняння, в подумках помноженого на деяке число.

Означення 5. Дві системи вигляду (1) з однаковою кількістю невідомих називаються еквівалентними, якщо вони або обидві несумісні, або, у разі сумісності, мають однакові розв’язки.

Для самостійного доведення сформулюємо теорему:

Теорема. Елементарні перетворення приводять до еквівалентних систем.

Перейдемо до дослідження системи (1) лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса.

Вважатимемо, що . Якщо це не так, цього можна досягти за рахунок або перестановки рівнянь, або за рахунок перенумерації невідомих. Зробимо такі елементарні перетворення над системою (1):

до рівняння + -ше рівняння

до рівняння + -ше рівняння

………………………………………….

до S рівняння + -ше рівняння

У результаті цих перетворень отримаємо еквівалентну систему

Зауваження. Могло трапитись, що у системі з’явилося рівняння:

(3)

У цьому випадку система , а тому і еквівалентна до неї , несумісна.

Могло трапитись і таке:

(4)

Це рівняння можна задовольнити будь-яким набором чисел. Тому його можна викинути з системи.

У системі вважатимемо, що . Цього можна досягти за рахунок або перестановки рівнянь, або за рахунок перенумерації невідомих. Зробимо такі елементарні перетворення над системою :

до -го рівняння + -ге рівняння

………………………………………….

до -го рівняння + -ге рівняння

Тоді отримаємо таку еквівалентну систему:

Продовжуючи аналогічним чином, на останньому кроці отримаємо систему:

Формально треба дослідити три випадки:

1)

У цьому випадку в останньому рівнянні невідомі оголосимо вільними у тому сенсі, що їм можна надавати будь-які значення. Тоді з останнього рівняння знайдемо , отже передостаннє рівняння і всі інші послідовно стають рівняннями виду (2) . У цьому випадку система має безліч розв’язків, тобто невизначена.

2)

Система набуває вигляду:

Звідси

У цьому випадку на кожному кроці послідовно отримаємо рівняння вигляду (2). Математики кажуть, що систему зведено до трикутного вигляду. Система є визначеною.

1)

Легко показати, що це неможливо. Припустимо супротивне , наприклад . Тоді останнє рівняння стає таким:

Ми отримали систему нееквівалентну початковій, що суперечить попередній теоремі.

Отже, метод Гаусса вирішує основні задачі в теорії лінійних рівнянь:

1. Дослідження системи на сумісність. Система буде несумісною, якщо в процесі перетворень ми отримаємо рівняння, в якому коефіцієнти при всіх невідомих рівні нулю, а вільний член - відмінний від нуля. Якщо ж ми такого рівняння не зустрінемо, то система буде сумісною.

2. Сумісна система рівнянь буде визначеною, якщо вона зводиться до трикутного вигляду, і невизначеною, якщо зводиться до вигляду , ().

3. Отримано алгоритм розв’язування системи алгебраїчних рівнянь методом послідовного виключення невідомих (метод Гаусса), поданий вище.