Ряды аналитических функций

Если ряд сходится в g, то

"e>0 $ N(e,z): | r _n(z)| <e для " n > N (e, z).

Пример.

- знакочередующийся ряд, сходится и признаку Лейбница, остаток ряда не превышает модуля следующего слагаемого

Необходимый и достаточный признак сходимости:
Критерий Коши: для "e>0 $ N(e,z): | S_n+m(z)-S_n(z)| <e для "n > N и "m>0.
Вообще говоря, в каждой точке z Î g N свое: N=N(e,z) и общего N для всей z может и не существовать.

2. Равномерная сходимость å u_k (z) в области g.

Определение. Если для "e>0 $ N(e): | r_n(z)| <e для "n >N(e) и " z одновременно, то ряд å u_k(z) называется равномерно сходящимся к функции f(z) в g.
Обозначение: å u_k(z)=>f(z).

Критерий Коши (необходимое и достаточное условие равномерной сходимости).

Если для "e>0 $ N(e): | S_n+m(z)-S_n(z)| <e для "n > N и "m>0 и " z одновременно, то ряд å u_k(z)=>f(z).
Доказательство.
Необходимость.

Пусть å u_k(z)=>f(z) "e >0 $ N(e): | f(z)- S_n(z)| <e /2 для "n>N(e) и " z Îg => и | f(z)- S_n+m(z)| <e /2 =>
=>| S_n+m(z)-S_n(z)| <e для "n>N и "m>0 и "zÎg.
Достаточность. Пусть для "e>0 $ N(e): | S_n+m(z)-S_n(z)| <e для "n>N и "m>0 и "zÎg => сходится в " z Îg, т.о. в g определена f(z) = .

для "n>N(e) и "zÎg => | r_n(z)| <e для "n>N(e) и " z Îg. n

Признак Вейерштрасса (достаточный признак равномерной сходимости).
Если | u_k(z) |< a_k, a_k >0 для " k >N и " z Îg и S a_k сходится, то S u_k(z)=>f(z) в g.
Доказательство.

S a_k сходится => "e>0 $ N(e): <e для "n>N(e)

для "n>N(e) и "zÎg. n

Примеры.

(оценить сверху значением функции в ее максимуме)

(оценить сверху значением функции в ее максимуме )

()

3. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Свойства равномерно сходящихся рядов:
Теорема 14.1. (непрерывность суммы) Пусть u_k(z) ÎС(g) и S u_k(z)=>f(z), тогда f(z) ÎС(g).
Доказательство.

u_k(z)=>f(z) Þ одновременно выполнены неравенства

| f (z +D z)-S_n(z +D z)|< e/3 и | f (z)-S_n(z)|< e/3 для "e>0.

u_k(z) ÎС(g) Þ для "e>0 и "N $ d>0:

при |D z |<d

Þ |D f |=| f (z +D z)- f (z)|£

£| f (z +D z)-S_n(z +D z)|+|S_n(z +D z)-S_n(z)|+|S_n(z)- f(z) | £

£e/3+e/3+e/3=e для |D z |<d, n>N. n

Примеры

Ряд из непрерывных функций сходится к разрывной функции, значит сходимость неравномерная

аналогично

Теорема 14.2. (возможность почленного интегрирования). Пусть u_k (z)ÎС(g) и S u_k(z)=>f(z), G кусочно- гладкий контур GÌg конечной длины L. Тогда .

Доказательство

u_k(z)=>f(z) Þ

для "e>0 $ N(e): | r_n(z) |<e/L для "n>N(e)

= £ < =en

Замечание. Эти два свойства равномерно сходящихся рядов с комплексными членами совершенно аналогичны свойствам равномерно сходящихся функциональных рядов с действительными членами.

Примеры.

Найти , если

Является ли непрерывной функция

Теорема Вейерштрасса. Если u_k(z) ÎC^¥(g) и S u_k(z)=>f(z) в любой замкнутой подобласти области g то:

f (z)ÎC^¥(g).

, для " z Îg.

" z Î" .

Доказательство
1. Рассмотрим произвольную z ₀Îg и построим односвязную : z ₀Î , в силу Теоремы 14.1 f (z)ÎС(g).

Рассмотрим произвольный контур GÌ . По Теореме 14.2 .

Т.о. для f(z) выполнены все условия Теоремы Морера Þ f (z)ÎC^¥(). В силу произвольности f (z)ÎC^¥(g).

Замечание. Т.к. r_n (z) =f (z)-S_n(z) Þ r_n (z) ÎC^¥(g).

2. Рассмотрим произвольную z ₀Îg и произвольный контур GÌg. Обозначим .

для " zÎG, т.к.

По Теореме 14.2 это равенство можно проинтегрировать почленно

По Теореме 8.1.

.

В силу произвольности z₀ утверждение 2 доказано.

Замечание. r_n^(p)(z)=f^(p)(z)-S_n ^(p)(z)= .

3. Рассмотрим " и G - замкнутый контур: ÌGÌgи "zÎ и "xÎG | z -x|³d>0.

r_n (z) ÎC^¥(g) Þ для "zÎ .

u_k(z)=>f(z) Þ "e>0 $ N(e): , где L- длина G.

Тогда .

Т.о. получена равномерная оценка для остатка ряда для производных Þ .

Пример. Ряд Sz^k/k² сходится равномерно в круге |z|£1, а ряд из производных Sz^k-1/k не может равномерно сходится в этом круг, т.к. он расходится при z=1. Ряд Sz^k-1/k равномерно сходится при |z|<1.

Для равномерно сходящихся функциональных рядов с действительными членами верна

Теорема 14.3. Пусть u_k(x) – непрерывно дифференцируемы на отрезке [ a,b ] и ряд, составленный из производных - равномерно сходится на отрезке [ a,b ], тогда если ряд сходится хотя бы в одной точке c Î[ a,b ], то он равномерно сходится на всем отрезке [ a,b ], его сумма непрерывно дифференцируема и .

Доказательство.

Пусть (непрерывна в силу равномерной сходимости ряда).

Найдем первообразную

для . Ряд сходится по условию теоремы Þ тоже сходится на всем промежутке.

Левая часть равенства имеет производную по x Þ$ S ¢(x)=s(x) и

сходится равномерно, т.к. первый ряд справа сходится равномерно, а второй не зависит от x.

Примеры.

Равномерно сходящийся на всей действительной оси ряд дифференцировать нельзя, так как ряд из производных расходится, например при x =0.

(1+1+1+1+…)¢=0+0+0+0+… Ряд, полученный в результате формального дифференцирования, сходится и даже равномерно, но дифференцирование не правомерно, т.к. исходный ряд расходится.

почленное дифференцирование возможно в силу равномерной сходимости ряда из производных.

§15. Степенные ряды.

Определение. Степенным рядом назовем ряд вида c_n (z-z ₀) ⁿ, z ₀ -центр, c_n - коэффициенты - заданные комплексные числа. При z= z ₀ ряд очевидно сходится. Это может быть единственная точка сходимости S n!zⁿ, а также ряд может сходится на всей комплексной плоскости S zⁿ / n!. При исследовании степенного ряда важно установить область его равномерной сходимости. Как будет показано далее, область сходимости степенного ряда определяется видом его коэффициентов c_n.