![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Из теоремы Абеля следует, что если степенной ряд сходится, при некотором значении х0, то этот ряд абсолютно сходится в промежутке изменения от -х0 до х0, (-х0;х0).
Если при некотором значении ряд расходится, то он расходится для всех х удовлетворяющих неравенствам
, или
- интервалы расходимости.
Определение: Интервал (-R;+R), внутри которого степенной ряд сходится, называется интервалом сходимости ряда. Половина интервала сходимости ряда называется радиусом сходимости.
(-R;+R)- интервал сходимости;
R- радиус сходимости.
На концах интервала ряд может сходиться и расходиться.
1. Если ряд (1) сходится в точке х=0, то R=0
2. Если ряд (1)сходится для любого х, то
3. Если ряд (1) сходится в (-R;+R), то в x= -R и x= +R степенной ряд исследуется особо.
Укажем способ определения радиуса сходимости степенного ряда. (1)
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов:
(4)
Для определения сходимости ряда (4) применим признак Даламбера. Допустим, что существует предел:
По признаку Даламбера ряд (4) сходится,
если <1, т.е.
и расходится если
>1, т.е.
.
Из предыдущего следует, что интервал сходимости обозначим
, тогда
(по Даламберу).
Аналогичным образом можно определить интервал сходимости по признаку Коши.
.
Рассмотрим примеры: Определить интервалы сходимости степенных рядов
1)
ряд сходится всюду .
2)
R=0. Ряд сходится в х=0.
3)
(-3;+3) - интервал сходимости. Исследуем ряд на концах:
х=-3.
условно сходится
х=3
расходится
или [-3;3) интервал сходимости.
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 185 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!