Однополосный гиперболоид

(1)

Запишем это уравнение в виде:

или (2)

Рассмотрим прямую, заданную общими уравнениями:

(3)

Где, α и β – произвольные числа, одновременно не равные нулю.

Если перемножить почленно эти уравнения и обе части разделить на произведение α β> 0, то получим уравнение (2). Следовательно, если координаты некоторой точки удовлетворяют системе (3), то они удовлетворяют также и уравнению (2), а, значит, и уравнению (1). Поэтому любая точка прямой (3) является также и точкой однополосного гиперболоида.

Если в системе (3) давать всевозможные значении α и β всевозможные значения, то получим семейство прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (α²+β²> 0).

Аналогично система уравнений вида:

(4)

Где хотя бы одно из чисел и отлично от нуля, также определяет некоторую прямолинейную образующую однополосного гиперболоида. Давая в системе (4) и . Всевозможные значения, получим другое семейство: прямолинейных образующих однополосного гиперболоида ( ²+ ² 0).

Теорема (без доказательства):

1) Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две и только две прямолинейные образующие, по одной из каждого семейства (3) и (4) (они задаются соответственно отношениями );

2) Любые две прямолинейные образующие одного семейства скрещиваются;

3) Любые две прямолинейные образующие из разных семейств лежат в одной плоскости (пересекаются или параллельны).