Цилиндрические поверхности

Определение. Поверхность, обладающая тем свойством, что вместе с каждой своей точкой М она содержит всю прямую, проходящую через М и параллельную данному ненулевому вектору называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. Прямые, параллельные вектору и принадлежащие цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности.

Пусть γ – некоторая линия (не обязательно плоская), а - ненулевой вектор. Согласно определению поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку линии γ параллельно вектору , является цилиндрической. В этом случае линия γ называется направляющей этой поверхности.

Докажем следующую теорему.

Теорема. Пусть в пространстве дана прямоугольная декартовая система координат O и в плоскости Oxy в системе координат O задана линия γ уравнением

F(x,y)=0. (1)

Тогда уравнение (1) определяет в пространстве цилиндрическую поверхность ξ с направляющей линией γ и образующими, параллельными оси OZ (то есть вектору ).

Доказательство.

Возьмем произвольную точку M₀ (x₀; y₀; z₀) пространства и рассмотрим прямую m, проходящую через эту точку, и направляющий вектор . Эта прямая m пересекает плоскость Oxy в некоторой точке M₁ (x₀; y₀; 0). Эта же точка M₁ на плоскостиOxy в системе координат O имеет координаты (x₀; y₀).

Если М₀ – точка поверхности ξ, то прямая M₀M₁ является образующей поверхности ξ, поэтому точка M₁ лежит на кривой γ. То есть ее координаты (x₀; y₀) удовлетворяют уравнению (1) линии γ: F(x₀,y₀)=0. Полученное равенство означает, что и координаты x₀; y₀; z₀ точки M₀ также удовлетворяют уравнению (1).

Если же точка M₀ не принадлежит поверхности ξ, то и точка M₁ не лежит на кривой γ, поэтому ее координаты (x₀; y₀) не удовлетворяют уравнению линии γ: F(x₀,y₀)≠0. Полученное неравенство означает, что и координаты точки M₀ не удовлетворяют уравнению (1).

Итак, уравнение (1) есть уравнение цилиндрической поверхности с направляющей линией γ и параллельными оси OZ образующими (если О принадлежит γ, то ось OZ служит одной из образующих).