 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Эллипсоид
|
|
Эллипсоид задаётся своим каноническим уравнением:
. (1)
1. Плоскости, оси и центр симметрии
а) Так как переменная z содержится в уравнении (1) лишь во второй степени, то это уравнение не изменится при замене 
на 
.
Следовательно, если точка 
принадлежит эллипсоиду, то ему также принадлежит и точка 
.
|
|
|
|
|
| x |
| y |
| z |
| x |
| y |
, значит и весь эллипсоид симметричен относительно этой плоскости.
Аналогично, эллипсоид симметричен и относительно плоскостей 
и 
.
б) Так как уравнение (1) не изменяется при одновременной замене 
на 
и 
на 
, то эллипсоид симметричен относительно оси 
.
Аналогично, эллипсоид симметричен и относительно осей 
и 
.
в) Так как уравнение (1) не изменится при одновременной замене на , на 
на 
, то эллипсоид симметричен относительно начала координат.
Определение 1. Центр симметрии поверхности второго порядка называется её центром, а её оси симметрии – осями поверхности второго порядка.
Таким образом, эллипсоид с уравнением (1) имеет:
· один центр симметрии – начало координат;
· три оси симметрии – оси 
, 
, и 
;
· три плоскости симметрии – плоскости 
, 
, 
.
2. Вершины
Определение 2. Вершинами поверхности 2-го порядка называются точки пересечения её с осями.
Найдём вершины эллипсоида с уравнением (1).
или 
, отсюда 
.
Точки пересечения эллипсоида с осью 
обозначим:
и 
.
Аналогично получим точки пересечения эллипсоида с осью 
:
и 
.
И осью 
:
и 
.
Итак, эллипсоид имеет шесть вершин. Числа 
называются комре эллипсоида.
3. Главные сечения
Определение 3. Множество точек (кривая линия), получающиеся при пересечении некоторой поверхности (не обязательно 2-го порядка) плоскостью, называется сечением этой поверхности.
Определение 4. Сечения поверхности 2-го порядка её плоскостями симметрии называются её главными сечениями.
Легко видеть, что все главные сечения эллипсоида есть эллипсы:
Сечение плоскостью 
: 
Сечение плоскостью 
: 
Сечение плоскостью 
: 
4. Сечения плоскостями, параллельными плоскостям симметрии
Рассмотрим сечение эллипсоида с уравнением (1) плоскостью α, параллельной плоскости Оху:
(2)
В зависимости от величины h возможны случаи:
а) 
и плоскости α с уравнением z=h эллипсоид не пересекает.
б) 
и сечением является либо точка C1(0;0;c), либо точка C2(0;0;-c), то есть, одна из вершин – эллипсоида.
в) 
и получаем систему уравнений:
(3)
В уравнении (3) положив: 
, приходим к уравнению эллипса с полуосями а1 и b1:
. (4)
Итак, в этом случае в сечении мы получаем эллипс, центр которого лежит на оси Oz в точке D(0;0;h). Легко видеть, что при уменьшении 
полуоси а1 и b1 возрастают и при h=0 имеем: a1=a, b1=b – сечение является главным.
Аналогично можно показать, что сечение эллипсоида с уравнением (1) плоскостями x=h или y=h является либо эллипсом, либо точкой – соответствующей вершиной эллипсоида, либо пустым множеством.
Заметим дополнительно, что из уравнения (1) следует, что
Поэтому имеем: -a ≤ x ≤ a, -b ≤ y ≤b, -c ≤ z ≤ c. Отсюда следует, что все точки эллипсоида (кроме его вершин) лежат внутри прямоугольного параллелепипеда с измерениями 2a, 2b, 2c. Грани его параллельны координатным плоскостям, а вершины эллипсоида служат центрами симметрии этих граней.
Изобразим теперь эллипсоид, используя проведённые выше исследования его формы.
5. Виды эллипсоидов
а) Если все полуоси эллипсоида различны: a≠b≠c, то он называется трёхосным.
б) Если две полуоси эллипсоида равны, например, a=b, то он является поверхностью вращения. Все его сечения, перпендикулярные оси вращения Oz, есть окружности. Эллипсоид называется в этом случае эллипсоидом вращения с осью вращения Oz и имеем каноническое уравнение:
. (5)
в) Если все три оси эллипсоида равны: a=b=c, то он представляет собой сферу с центром в начале координат радиуса r = a:
. (6)
Следовательно, сфера является частным случаем эллипсоида.
Можно показать, что любой трёхосный эллипсоид с уравнением (1) можно получить из некоторой сферы, например, с уравнением (6), с помощью последовательного сжатия к двум взаимно перпендикулярным плоскостям симметрии этой сферы.
Замечание. Эллипсоид с центром O’(x0;y0;z0) и полуосями a, b, c, параллельными осям координат, имеем уравнение: 
=1.
В частности, сфера радиуса r = a с центром в точке O’(x0;y0;z0) имеем уравнение: 
+ 
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 535 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
