Примеры. 1) Алгебраической поверхностью первого порядка является любая плоскость с общим уравнением , где ;

1) Алгебраической поверхностью первого порядка является любая плоскость с общим уравнением , где ;

2) Алгебраическая поверхность второго порядка имеет уравнение вида: , где хотя бы один из коэффициентов членов второй степени отличен от нуля.

Это уравнение называется общим уравнением поверхности 2-го порядка.

Так же, как и для линии второго порядка на плоскости, можно доказать, что уравнение любой поверхности 2-го порядка с помощью надлежащего выбора системы координат (прямоугольной декартовой) может быть приведено к одному из 17 (семнадцати) простейших видов, которые называются каноническими.

Общую теорию поверхностей второго порядка мы изучать не будем, исследуем свойства этих поверхностей по их каноническим уравнениям.

I. Эллипсоиды

1. Эллипсоид: .

x

y

z

2. Мнимый эллипсоид (пустое множество точек): .

II. Гиперболоиды

3. Однополостный гиперболоид: .

4. Двуполостный гиперболоид: .

III. Параболоиды

5. Эллиптический параболоид: .

6. Гиперболический параболоид: .

IV. Конусы

7. Конус: .

8. Мнимый конус (точка O(0,0,0)): .

V. Цилиндры

9. Эллиптический цилиндр: .

z

y

x

10. Гиперболический цилиндр: .

11. Параболический цилиндр: .

12. Мнимый цилиндр (пустое множество точек):

VI. Пары плоскостей

13. Пара пересекающихся плоскостей:

14. Пара мнимых плоскостей, пересекающихся по действительной прямой:

15. Пара различных параллельных плоскостей:

16. Пара совпавших плоскостей:

17. Пара мнимых параллельных плоскостей (пустое множество точек). (Изображения поверхностей 2-го порядка смотреть в учебнике геометрии часть I, глава IX.)