Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид задается своим каноническим уравнением:

. (1)

. Так как уравнение (1) содержит во второй степени, то гиперболический параболоид с уравнением (1) симметричен относительно плоскостей Oxz, Oyz и оси Oz, относительно плоскости Oxy, осей Ox и Oy и начала координат он не симметричен. Таким образом, гиперболический параболоид имеет только одну ось симметрии, две плоскости симметрии и не имеет центра симметрии (центра).

. Гиперболический параболоид с уравнением (1) имеет единственную вершину – начало координат:

– вершина или узловая точка.

. Сечение плоскостью Oxz:

- парабола с вершиной O(0;0;0) и осью Oz. (2)

Сечение плоскостью Oyz:

– парабола с вершиной O(0;0;0) и осью Oz. (3)

Заметим, что параболы (2) и (3) расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях Oxy.

Сечение плоскостью Oxy:

или (4)

Пара прямых, пересекающихся в начале координат O(0;0;0).

. Сечение плоскостью

или или (5)

Второе уравнение системы (5) задает параболу полученную из параболы с уравнениями (2) с помощью параллельного переноса. Вершина этой параболы находится в точке .

Заметем также, что координаты точки удовлетворяют уравнениям (3):

или .

Таким образом, вершина параболы (5) принадлежит и параболе (3).

. Сечение плоскостью ^

Возможны три случая:

1) – гипербола с действительной осью, параллельной оси Ox.

2) – пара прямых, пересекающихся в вершине O(0;0;0) поверхности.

3) – гипербола с действительной осью, параллельной оси Oy.

Аналогично можно показать, что в сечении поверхности (1) плоскостью с уравнением получается парабола, равная параболе . Оси этих парабол имеют положительное направление, определяемое вектором .

Таким образом, гиперболический параболоид получается параллельным переносом параболы с уравнением (5), когда ее вершина перемещается по параболе с уравнением (3). При этом в случае совпадения точки с началом координат O(0;0;0) параболы (5) и (2) совпадают.

Изобразим теперь гиперболический параболоид.