![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Эллиптический параболоид задается своим каноническим уравнением:
(1)
. Так как уравнение (1) содержит x и y во второй степени, то эллиптический параболоид с уравнением (1) симметричен относительно Oxz и Oyz, а также относительно оси Oz. Относительно плоскости Oxy, осей Ox и Oy и начала координат эллиптический параболоид не симметричен.
Таким образом, эллиптический параболоид имеет только одну ось симметрии, две плоскости симметрии и не имеет центра симметрии (центра).
. Эллиптический параболоид с уравнением (1) имеет единственную вершину – начало координат.
. Сечение плоскостью Oyz:
- парабола с вершиной O(0;0;0) и осью Oz.
Сечение плоскостью Oxz:
– парабола с вершиной O(0;0;0) и осью Oz.
Сечение плоскостью Oxy:
– точка O(0;0;0) – вершина эллиптического параболоида.
Из уравнения (1) следует, что . Таким образом, эллиптический параболоид расположен по одну сторону от плоскости Oxy и имеет с ней единственную общую точку – начало координат O(0;0;0).
. Сечение плоскостью
или
– эллипс с полуосями
и
и центром С(0;0;h). При
полуоси этого эллипса неограниченно возрастает. При
эллипс превращается в точку O(0;0;0).
. Сечение плоскостью
или
или
Второе уравнение этой системы можно переписать в виде: . Оно задает некоторую параболу, равную параболу с уравнением
.
Итак, все сечения поверхности (1) плоскостями, параллельными плоскости Oxz, являются параболами.
Аналогично можно показать, что все сечения поверхности (1) плоскостями с уравнением вида (т.е. плоскостями
) также есть параболы.
. Если в уравнении (1)
, то получаем поверхность, называемую параболоидом вращения с каноническим уравнением:
. (2)
Эта поверхность получается вращением параболы с уравнениями: вокруг ее оси, т.е. оси Oz.
Можно показать, что любой эллиптический параболоид можно получить из параболоида вращения с помощью сжатия к точки, проходящей через ось вращения.
Изобразим теперь эллиптический параболоид.
. Уравнение:
(3)
Задаёт эллиптический параболоид, симметричный эллиптическому параболоиду (1) относительно Oxy.
Пример. Изобразим поверхность второго порядка
Решение.
или
.
– параболоид вращения с осью вращения Oz, вершина
(0;0;1).
– окружность радиуса
, центр O(0;0;0).
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 640 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!