Двуполостный гиперболоид

Двуполостный гиперболоид задается своими каноническим уравнением

или (1)

1. Плоскости, оси и центр симметрии

Из уравнения (1) следует, что поверхность симметрична относительно всех плоскостей координат, всех координатных осей и начала координат. Таким образом, двуполостный гиперболоид имеет три оси и один центр – начало координат.

2. Вершины

Точки пересечения с осью Oz: , C₁(0, 0, c), C₂(0, 0, -c).

Легко видеть, что точек пересечения с другими осями координат нет:

Ось Ox: .

Ось Oy: .

Определение. Действительной осью двуполостного гиперболоида называется та ось, с которой он пересекается. Две другие оси называется мнимыми (с ними двуполостный гиперболоид не пересекается).

3. Главные сечения

. (1)

Сечение плоскостью OYZ: гипербола с действительной осью OZ.

Сечение плоскостью OXZ: гипербола с действительной осью OZ.

Сечение плоскостью OXY: пустое множество точек (мнимый эллипс).

4. Сечение плоскостью, параллельной плоскости OXY

║OXY: или (2)

Возможны три случая.

а) и плоскость α двуполостный гиперболоид не пересекает, так как система (2) не имеет решений.

б) и имеет систему

сечением является либо точка C₁(0, 0, c), либо C₂(0, 0, -c), то есть одна из вершин двуполостного гиперболоида.

в) и имеет систему

(3)

Второе уравнение системы (3) задает эллипс , где .

Если , то полуоси этого эллипса и неограниченно возрастают.

Аналогично можно показать, что сечениями поверхности с уравнением (1) плоскостями β: x = h и γ: y = h есть гиперболы.

Изобразим теперь двуполостный гиперболоид, используя проведенное выше исследование его формы.

5. Виды двуполостных гиперболоидов

а) Если в уравнении (1), например a = b, то получаем двуполостный гиперболоид вращения с уравнением:

(4)

в котором ось вращения – ось Oz

Эта поверхность получена вращением гиперболы с уравнением вокруг оси Oz, то есть вокруг ее действительной оси.

б) Двуполостный гиперболоид с центром и полуосями a, b, с, параллельными осям координат, имеем уравнение:

(5)

Замечание. В каноническом уравнении однополостного гиперболоида имеется один знак «-», а в каноническом уравнении двуполостного гиперболоида – два знака «-».

В обоих уравнениях члены, соответствующие действительным осям, имеют знак «+», а члены, соответствующие мнимым осям, имеют знак «-».

Пример. Изобразить поверхность второго порядка .

Решение.

.

- двуполостный гиперболоид вращения, центр , полуоси a = b = с = 1.

(Формула параллельного переноса в пространстве имеет вид.

, где