Замечания. 1) Для эллипса и гиперболы теорема 1 непосредственно следует из теоремы о директрисах, причем F – один из фокусов

1) Для эллипса и гиперболы теорема 1 непосредственно следует из теоремы о директрисах, причем F – один из фокусов, l – ближайшая к этому фокусу директриса. Для параболы теорема 1 следует из ее определения, где F – фокус параболы, l – ее директриса;

2) Указанное отношение расстояний есть эксцентриситет линии;

3) Окружность не имеет директрис, так как Ɛ=0 и .

Теорема 2. Эллипс, гипербола, парабола, эксцентриситетами Ɛ имеют в некоторой полярной системе координат уравнение:

. (1)

Доказательство.

Примем за полюс фокус F соответствующей линии, полярную ось проведем через фокус F перпендикулярно соответствующей директрисе l в направлении от l к F.

Пусть M – произвольная точка линии, M₀ – точка линии, для которой ; обозначим FM₀ через p – фокальный параметр точки M₀.

;

Согласно теореме 1 имеем: