Взаимное расположение точки и прямой

Теорема 1. Расстояние α от точки M₀(x₀;y₀) до прямой p с уравнением

(*)

выражается формулой:

(1)

Доказательство.

Пусть (a;b) – нормальный вектор прямой p, M₁(x₁;y₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки M₀ на прямую p. Тогда

Возможны два случая взаимного расположения и вектора :

Вычислим скалярное произведение двумя способами.

1 способ. , где .

, ;

Могут представиться случаи:

.

Тогда получаем: (2)

2 способ. , .

, так как и .

Итак, . (3)

Из (2) и (3) имеем: . (4)

Из (4) получаем:

или . (1)

Теорема 2. Координаты точек одной из полуплоскостей, на которые прямая с уравнением разбивает плоскость, удовлетворяют неравенству: , а координаты другой полуплоскости – неравенству: .

Доказательство.

Пусть точки находится в той полуплоскости, в сторону которой направлен нормальный вектор (рис. 1). Тогда , и из равенства (3) имеем: .

Если же точка лежит в другой полуплоскости, то , и из равенства (3) имеем: .

Теорема доказана.

Следствие. Если точки и лежат по одну сторону от прямой с уравнением , то при подстановке их координаты в трехчлен получаются значения одного знака, а если по разные стороны – значения разных знаков.

Пример 1. Исследовать взаимное расположение точки и прямой .

Имеем по формуле (1):

;

M₀ ;

.

Таким образом, точка находится на расстоянии от данной прямой и лежит по разные стороны от неё с началом координат.

Пример 2. Задать аналитически треугольник, стороны которого лежат на прямых с уравнениями: , , .

- уравнение прямой в отрезках на осях координат.

, , .

1) ;

2) ;

3) .

- система неравенств, задающая внутреннюю область ∆АВС.

- система неравенств, задающая весь ∆АВС (объединение его сторон и внутренней области).

§ 11. Взаимное расположение двух прямых

Определение. Углом от прямой до прямой называется направленный угол Θ(тэта), удовлетворяющий условиям:

1) при повороте на него прямая совмещается с прямой ;

2) .

Теорема 1. Угол Θ от прямой с уравнением до прямой с уравнением выражается формулой:

(1)

Доказательство.

Пусть , , то есть , .

Рассмотрим два возможных случая взаимного расположения прямых _, и оси .

По теореме о внешнем угле треугольника имеем:

или ; или ;

В обоих случаях получаем:

.

Теорема доказана.

Следствие 1. Условием параллельности двух прямых является следующее:

.

Доказательство.

.

Следствие 2. Условием перпендикулярности двух прямых является следующее:

.

Доказательство.

.