Замечания. 1) Половину указанной суммы обозначают через а, тогда сама сумма равна 2а

1) Половину указанной суммы обозначают через а, тогда сама сумма равна 2а. Если М – произвольная точка эллипса, то числа , – называются фокальными радиусами и по определению эллипса получаем:

.

2) Половину фокального расстояния обозначают через c, тогда Из треугольника ∆ имеем: или или

Теорема. Если фокусы эллипса лежат на оси ОХ прямоугольной декартовой системы координат Oxy и симметричны относительно начала координат, то в этой системе эллипс имеет уравнение:

(1)

где (2)

Уравнение (1) называется каноническим или простейшим уравнением эллипса.

Доказательство.

Пусть M(x; y) – произвольная точка эллипса, и – его фокусы. Тогда по определению эллипса имеем: Перейдем в этом равенстве к координатам:

,

(3)

. (4)

Так как , то и можно положить , отсюда

.

Уравнение (4) примет вид: . Делим обе его части на

Итак, доказано, что координаты произвольной точки эллипса удовлетворяют уравнению (1). Аналогично можно доказать, что координаты любой точки , не лежащей на эллипсе, уравнению (1) не удовлетворяют.

Теорема доказана.

Определение 2. Число называется эксцентриситетом эллипса с уравнением (1) при условии (2).